Soal Dan Pembahasan Trigonometri Cosinus Setengah Sudut

Pada artikel sebelumnya telah dibahas rumus trigonometri sudut rangkap. Jika anda sudah memahami rumus-rumus tersebut khususnya rumus cosinus sudut ganda, maka anda niscaya sanggup menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus cosinus setengah sudut sebagai berikut :

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diadaptasi dengan kuadran sudut sebagai berikut :
⇒ Kuadran I : cosinus positif.
⇒ Kuadran II : cosinus negatif.
⇒ Kuadran III : cosinus negatif.
⇒ Kuadran IV : cosinus positif.

Soal dan Pembahasan

1. Jika β merupakan sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. cos β dalam sudut 2β
   2. cos ½β

   Pembahasan :

   1. cos β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu cosinus bernilai positif.

      $\mathrm{cos\; \beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 2<span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
   2. cos ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu cosinus untuk sudut ½β juga bernilai positif.

      $\mathrm{cos\; ½\beta \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">\beta </span>}}{2}$
2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
   1. cos α dalam sudut 2α
   2. cos ½α

   Pembahasan :

   1. cos α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu cosinus bernilai negatif.

      $\mathrm{cos\; \alpha \; =\; – }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 2\alpha }}{2}$
   2. cos ½α
      Karena sudut α berada di kuadran II, berarti sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu cosinus untuk sudut ½α bernilai positif.

      $\mathrm{ }$ $\mathrm{cos\; ½\alpha \; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; \alpha }}{2}$
3. Dengan memakai rumus cos ½α, hitunglah nilai dari :
   1. cos ^π⁄₁₂
   2. cos 112 ½

   Pembahasan :

   1. cos ^π⁄₁₂ = cos ½(^π⁄₆)
      ⇒

      $\mathrm{cos \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">^\pi⁄₆</span>}}{2}$

      ⇒

      $\mathrm{cos \; ^\pi⁄₁₂\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; ½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>}}{2}$

      ⇒

      $\mathrm{cos \; ^\pi⁄₁₂\; =\; ½}\mathrm{\surd }\mathrm{(2\; + \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 3</span>)}$

      ⇒ cos ^π⁄₁₂ = ½ √(2 + √3)
   2. cos 112 ¹⁄₂ = cos ½(225^o)
      ⇒

      $\mathrm{cos\; 112\; ¹⁄₂\; =\; –}\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">225^o</span>}}{2}$

      ⇒

      $\mathrm{cos\; 112\; ¹⁄₂\; =\; –}\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; (-½<span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}}{2}$

      ⇒

      $\mathrm{cos\; 112\; ¹⁄₂\; =\; -½}\mathrm{\surd }\mathrm{(2\; - \; <span\; style="font-size:\; small;">\surd 2</span>)}$

      ⇒ cos 112 ¹⁄₂ = -½ √(2 − √2)
4. Nyatakan perbandingan trigonometri cos ¾α dalam sudut 1½α.
   Pembahasan :
   cos ¾α = cos ½(³⁄₂α)

   ⇒

   $\mathrm{cos\; ¾\alpha \; = }$ $\mathrm{\pm }$ $\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; x-small;">³⁄₂</span>\alpha }}{2}$

   ⇒

   $\mathrm{cos\; ¾\alpha \; = }$ $\mathrm{\pm }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos \; <span\; style="font-size:\; small;">1</span>½\alpha }}{2}$
5. Dengan konsep cosinus etengah sudut, tentukan nilai trigonometri berikut :
   1. cos 45^o
   2. cos 30^o

   Rumus untuk cos ½α

   

   Pembahasan :
   Sudut 45^o dan 30^o berada di kuadran I jadi nilai cosinusnya positif.

   1. cos 45^o = cos ½(90^o)
      ⇒

      $\mathrm{cos\; 45^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 90^{\; o}}}{2}$

      ⇒

      $\mathrm{cos\; 45^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; 0}}{2}$

      ⇒ cos 45^o = ¹⁄_√2
      ⇒ cos 45^o = ½√2.
   2. cos 30^o = cos ½(60^o)
      ⇒

      $\mathrm{cos\; 30^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; cos\; 60^o}}{2}$

      ⇒

      $\mathrm{cos\; 30^o\; = }\mathrm{\surd }\frac{\mathrm{1\; +\; ½}}{2}$

      ⇒ cos 30^o = ^√3⁄₂
      ⇒ cos 30^o = ½√3.