Soal Dan Pembahasan Memilih Faktor Suku Banyak

Menurut teorema sisa, apabila suatu suku kaya f(x) habis dibagi oleh (x – a) atau sisa pembagiannya sama dengan nol, maka (x – a) disebut faktor suku kaya f(x). Jika pada suatu suku kaya f(x) berlaku f(a) = 0, f(b) = 0, dan f(c) = 0, maka (x – a), (x – b), dan (x – c) merupakan faktor dari suku kaya f(x) dan f(x) akan habis dibagi oleh mereka, sementara x = a, x = b, dan x = c merupakan akar dari suku kaya f(x) = 0.

• Jika f(x) habis dibagi (x – a)  → f(a) = 0
• Jika f(x) habis dibagi (x + a) → f(-a) = 0 
• Jika f(x) habis dibagi (ax – b) → f(b/a) = 0
• Jika f(x) habis dibagi (ax + b) → f(-b/a) = 0

1. Salah satu faktor dari 2x³ – 5x² – px + 3 merupakan (x + 1). Faktor lain dari suku kaya tersebut merupakan …
   A. (x – 2) dan (x – 3)
   B. (x + 2) dan (2x – 1)
   C. (x + 3) dan (x + 2)
   D. (2x + 1) dan (x – 2)
   E. (2x – 1) dan (x – 3)

   Pembahasan 
   Karena x + 1 merupakan faktor suku kaya, maka suku kaya habis dibagi dan berlaku f(-1) = 0.
   f(x) =  2x³ – 5x² – px + 3  dari (x + 1) diperoleh x = -1
   ⇒ f(-1) =  2(-1)³ – 5(-1)² – p(-1) + 3
   ⇒ 0 = -2 – 5 + p + 3
   ⇒ 4 = p → substitusi nilai p = 4 ke fungsi suku kaya.
   f(x) =  2x³ – 5x² – 4x + 3
   ⇒ f(x) =  (x + 1) (2x² – 7x + 3)
   ⇒ f(x) =  (x + 1) (2x – 1) (x – 3)
   Jadi, faktor lainnya merupakan (2x – 1) dan (x – 3) —> opsi E.

2. Jika x³ – 12x + ka habis dibagi (x – 2), maka beliau habis dibagi dengan …
   A. x – 1
   B. x + 1
   C. x + 2
   D. x – 3
   E. x + 4

   Pembahasan
   Karena suku kaya f(x) habis dibagi (x – 2), maka berlaku f(2) = 0.
   f(x) = x³ – 12x + ka  ; dari (x – 2) diperoleh x = 2
   ⇒ f(2) = x³ – 12x + ka = 0
   ⇒ 2³ – 12(2) + ka = 0
   ⇒ 8 – 24 + ka = 0
   ⇒ ka = 16 → substitusi nilai ka = 16 ke suku kaya.
   f(x) = x³ – 12x + 16
   ⇒ f(x) = (x – 2) (x² + 2x – 8)
   ⇒ f(x) = (x – 2) (x + 4) (x – 2)
   Jadi, suku kaya tersebut akan habis dibagi oleh (x + 4) atau (x – 2) —> opsi E.

Read more : Soal dan Pembahasan Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak.

3. Jika (2x + 1) merupakan faktor dari 2x⁵ – 3x⁴ + 7x²  – x + p, maka nilai dari p² + p sama dengan …
   A. 6
   B. 4
   C. 2
   D. 1
   E. -2

   Pembahasan
   Faktor suku kaya (2x + 1), diperoleh x = -½ maka berlaku f(-½) = 0.
   f(x) = 2x⁵ – 3x⁴ + 7x²  – x + p
   ⇒ f(-½) = 2(½)⁵ – 3(½)⁴ + 7(½)²  -(-½) + p = 0
   ⇒ 2(1/32) – 3(1/16) + 7(1/4)  + ½ + p = 0
   ⇒ (1/16) – (3/16) + (18/16)  + (8/16) + p = 0
   ⇒ 32/16 + p = 0
   ⇒ p = -32/16
   ⇒ p = -2
   Maka nilai p² + p = (-2)² + (-2) = 2 —> opsi C.

4. Diketahui g(x) =  2x³ + ax² + bx + 6 dan h(x) = x² + x – 6 merupakan faktor dari g(x). Nilai a yang memenuhi merupakan …
   A. -3
   B. -1
   C. 1
   D. 2
   E. 5

   Pembahasan 
   Uraikan h(x) menjadi x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2) dengan begitu fungsi g(x) akan habis dibagi (x + 3) dan (x – 2). Untuk (x + 3) berlaku g(-3) = 0 dan untuk (x – 2) berlaku g(2) = 0.
   g(x) =  2x³ + ax² + bx + 6
   ⇒ g(-3) =  2(-3)³ + a(-3)² + b(-3) + 6 = 0
   ⇒ 2(-27) + a(9) + b(-3) + 6 = 0
   ⇒ -54 + 9a – 3b + 6 = 0
   ⇒ 9a – 3b = 48
   ⇒ 3a – b = 16
   Selanjutnya :
   ⇒ g(2) = 2(2)³ + a(2)² + b(2) + 6 = 0
   ⇒ 2(8) + a(4) + b(2) + 6 = 0
   ⇒ 16 + 4a + 2b + 6 = 0
   ⇒ 4a + 2b = -22
   ⇒ 2a + b = -11

   Dengan metode substitusi atau eliminasi, nilai a dan b sanggup ditentukan.
   3a – b = 16 —> b = 3a – 16 —> substitusi ke persamaan 2a + b = -11.
   ⇒ 2a + b = -11
   ⇒ 2a + (3a – 16) = -11
   ⇒ 5a = 5
   ⇒ a = 1 —> opsi C.

Read more : Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak Teorema Sisa.

5. Diketahui (x – 2) dan (x – 1) merupakan faktor dari P(x) = x³ + ax² – 13x + b. Jika akar dari P(x) merupakan x1, x2, dan x3 dengan x1 > x2 > x3, maka nilai dari x1 – x2 – x3 merupakan …
   A. 8
   B. 6
   C. 4
   D. 2
   E. 1

   Pembahasan 
   P(x) = x³ + ax² – 13x + b habis dibagi (x – 2) berlaku P(2) = 0.
   ⇒ P(2) = 2³ + a(2)² – 13(2) + b = 0
   ⇒ 8 + 4a – 26 + b = 0
   ⇒ 4a + b = 18
   P(x) = x³ + ax² – 13x + b habis dibagi (x – 1) berlaku P(1) = 0.
   ⇒ P(1) = 1³ + a(1)² – 13(1) + b = 0
   ⇒ 1 + a – 13 + b = 0
   ⇒ a + b = 12
   Dengan meode eliminasi atau substitusi sanggup ditentukan nilai a dan b.
   a + b = 12 —> a = 12 – b —> substitusi ke persamaan 4a + b = 18
   ⇒ 4a + b = 18
   ⇒ 4(12 – b) + b = 18
   ⇒ 48 – 4b + b = 18
   ⇒ -3b = -30
   ⇒ b = 10
   Selanjutnya :
   ⇒ a + b = 12
   ⇒ a + 10 = 12
   ⇒ a = 2

   Dengan demikian, maka diperoleh suku kaya sebagai berikut :
   P(x) = x³ + ax² – 13x + b
   ⇒ P(x) = x³ + 2x² – 13x + 10
   ⇒ P(x) = (x – 2)(x – 1)(x + 5)
   Karena x1 > x2 > x3, maka x1 = 2, x2 = 1, dan x3 = -5.
   Jadi, x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (-5) = 6 —> opsi B.

Read more : Soal dan Jawaban Menentukan Akar Suku Banyak.