Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonometri Lanjutan

Pada artikel sebelumnya telah dibahas identitas trigonometri dasar yang harus dipahami. Setelah menguasai identitas dasar trigonometri, maka tahap selanjutnya merupakan identitas trigonometri lanjutan yang dikembangkan dari identitas dasar.

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa nilai dari perbandingan trigonometri suatu sudut saling terkait dengan sudut lainnya oleh alasannya ialah itu suatu bentuk persamaan identitas trigonometri sanggup diubah menjadi bentuk yang lebih simpel atau diubah menjadi bentuk perbandingan trigonometri lainnya.

Pada dasarnya apabila pemahaman kita perihal identitas dasar telah kuat, maka soal-soal lanjutan yang tingkat kesulitannya lebih tinggi sanggup kita selesaikan dengan mudah. Pada awalnya memang bentuk-bentuk persamaan trigonometri yang diberikan pada soal terkesan rumit dan membuat pusing, namun percayalah bahwa dengan kaya berlatih dan terus berlatih, semua duduk kasus akan sanggup diselesaikan. Berikut sedikit pola soal lanjutan perihal identitas trigonometri.

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot² β) / (cot β . sec² β).
   Pembahasan
   Dari potongan (1 + cot² β) / (cot β . sec² β), simpelkan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot² β = cosec² β
   ⇒ 1 + cot² β = 1/sin² β

   cot β . sec² β = (cos β/ sinβ) . sec² β
   ⇒ cot β . sec² β = (cos β/ sin β).(1/cos² β)
   ⇒ cot β . sec² β = cos β / sin β.cos² β

   Setelah digabung kembali diperoleh :
   (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = sin β.cos² β / sin² β.cos β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β 
   Jadi, (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β.
2. Tentukan nilai dari (sin α – cos α)² + 2 sin α cos α.
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing semoga tak terlalu panjang.
   (sin α – cos α)² = sin² α – 2 sin α. cos α +  cos² α
   ⇒ (sin α – cos α)² = sin² α +  cos² α – 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α – cos α)² = 1 – 2 sin α. cos α

   Selanjutnya :
   (sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = 1 – 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = 1.

3. Buktikan bahwa sec⁴ α – sec² α = tan⁴ α + tan² α.
   Pembahasan
   sec⁴ α – sec² α = tan⁴ α + tan² α
   ⇒ sec² α (sec² α – 1) = tan² α (tan² α + 1)
   ⇒ sec² α (tan² α) = tan² α (sec² α)
   ⇒ sec² α . tan² α = sec² α . tan² α
   Jadi, sec⁴ α – sec² α = tan⁴ α + tan² α = sec² α . tan² α.
   Terbukti.
4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling simpel.
   a. 1 – cos² β
   b. sin² α –  cos² α
   c. tan² α – 1
   d. sin² α – 2 sin α cos α + cos² α

   Pembahasan

   1. 1 – cos² β
      Dari identitas sin² β +  cos² β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 – cos² β = sin² β
      Jadi, 1 – cos² β = sin² β.
   2. sin² α –  cos² α
      Dari identitas sin² α +  cos² α = 1, maka sin² α  = 1 – cos² α.
      ⇒ sin² α –  cos² α = 1 – cos² α – cos² α
      ⇒ sin² α –  cos² α = 1 – 2 cos² α
      Karena 2 cos² α – 1 = cos 2α, maka 1 – 2 cos² α = – cos 2α.
      ⇒ sin² α –  cos² α = -cos 2α
      Jadi, sin² α –  cos² α = -cos 2α.
   3. tan² α – 1
      Dari identitas 1 + tan² α = sec² α, maka tan² α = sec² α – 1
      ⇒ tan² α – 1 = sec² α – 1 – 1
      ⇒ tan² α – 1 = sec² α – 2
   4. sin² α – 2 sin α cos α + cos² α = sin² α + cos² α – 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α – 2 sin α cos α + cos² α = 1 – 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α – 2 sin α cos α + cos² α = 1 – sin 2α
      Jadi,  sin² α – 2 sin α cos α + cos² α = 1 – sin 2α .
5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
   a. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
   b. 3 cos² α – 2 = 1 – 3 sin² α
   c. 3 + 5 sin² α = 8 – 5 cos² α

   Pembahasan

   1. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin² α + cos² α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.

   2. 3 cos² α – 2 = 1 – 3 sin² α
      Ingat bahwa sin² α + cos² α = 1, maka 3 sin² α + 3 cos² α = 3.
      Dari 3 sin² α + 3 cos² α = 3, maka 3 cos² α = 3 – 3 sin² α.

      ⇒ 3 cos² α – 2 = 1 – 3 sin² α
      ⇒ 3 – 3 sin² α – 2 = 1 – 3 sin² α
      ⇒ 1 – 3 sin² α = 1 – 3 sin² α.
      Terbukti.

      

   3. 3 + 5 sin² α = 8 – 5 cos² α
      Dari 5 sin² α + 5 cos² α = 5, maka 5 sin² α = 5 – 5 cos² α.
      ⇒ 3 + 5 sin² α = 8 – 5 cos² α
      ⇒ 3 + 5 – 5 cos² α = 8 – 5 cos² α
      ⇒ 8 – 5 cos² α = 8 – 5 cos² α.
      Terbukti.