Sudut ganda atau sudut rangkap merupakan dua kali sudut tertentu (2α), dengan α merupakan sudut tunggal. Pada trigonometri sudut ganda akan dibahasa sedikit bahan yaitu rumus sin 2α, cos 2α, dan tan 2α. Rumus-rumus tersebut juga akan dipakai sebagai teladan dalam penentuan rumus trigonometri sudut setengah (½α).

Pada dasarnya, rumus trigonometri sudut ganda mengikuti suatu kaidah khusus yang sanggup kita manfaatkan untuk memilih nilai perbaningan trigonometri suatu sudut. Rumus-rumus trigonometri sudut ganda diturunkan dari rumus trigonometri jumlah dua sudut yang telah dibahas pada artikel sebelumnya.

Rumus untuk sin 2α diturunkan dari rumus sin (α + β). Jika β = α, maka bentuk tersebut akan menjadi sin (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut, maka diperoleh :

sin 2α = sin (α + α)
⇒ sin 2α = sin α .cos α + cos α sin α
⇒ sin 2α = 2 sin α .cos α

Kumpulan Soal dan Pembahasan

  1. Dengan memakai konsep sin 2α, nyatakan sin α dalam perbandingan trigonometri ½α.
    Pembahasan :
    sin α = sin 2 (½α)
    ⇒ sin α = 2 sin ½α cos ½α
    Jadi, sin α = 2 sin ½α cos ½α
  2. Jika diketahui α merupakan sudut lancip dengan sin α = ⅗, maka hitunglah nilai dari sin 2α.
    Pembahasan :
    Ingat, alasannya yaitu sin α = ⅗, maka cos α = ⅘.
    sin 2α = 2 sin α cos α
    ⇒ sin 2α = 2 (⅗) (⅘)
    ⇒ sin 2α = 2425
    Jadi, sin 2α = 2425.

  3. Diketahui 3α = (2α + α), buktikan bahwa sin 3α = -4 sin3α + 3sin α.
    Pembahasan :
    sin 3α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ sin (2α + α) = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ sin 2α cos α + cos 2α sin α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin2α) sin α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 2 sin α cos2α  + (sin α − 2 sin3α) = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 2 sin α cos2α  + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
    Ingat bahwa cos2α = 1 − sin2α, sesampai lalu :
    ⇒ 2 sin α (1 − sin2α)  + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 2 sin α − 2 sin3α + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α
    ⇒ 3 sin α − 4 sin3α = -4 sin3α + 3sin α 
    ⇒ -4 sin3α + 3 sin α = -4 sin3α + 3sin α
    (Terbukti).
  4. Jika ABC merupakan sudut dalam segitiga, tunjukkanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
    Pembahasan :
    Karena segitiga, maka A + B + C = 180o = π.
    A = π – (B + C)
    ⇒ 2A = 2π – (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = sin {2π – (2B + 2C)}
    ⇒ sin 2A = sin 2π cos (2B + 2C) − cos 2π sin (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = 0. cos (2B + 2C) − (1) sin (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = -sin (2B + 2C)
    ⇒ sin 2A = -{sin 2B cos 2C + cos 2B sin 2C)
    ⇒ sin 2A = -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C

    Selanjutnya, substitusi sin 2A ke soal yang ditanya.
    sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ -sin 2B cos 2C + sin 2B − cos 2B sin 2C  + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ sin 2B (1 − cos 2C) + sin 2C (1 − cos 2B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 2 sin B cos B (2 sin2C) + 2 sin C cos C (2 sin2B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B cos B (sin2C) + 4 sin C cos C (sin2B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C (cos B sin C + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C sin (B + C) = 4 sin A sin B sin C

    Ingat bahwa B + C = π – A, maka :
    ⇒ 4 sin B sin C sin (π – A) = 4 sin A sin B sin C 
    ⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
    ⇒ 4 sin A sin B sin C = 4 sin A sin B sin C.
    (Terbukti).

  5. Nyatakan sin 3α dalam sudut 32α. 

    Rumus untuk sin 2α

     Sudut ganda atau sudut rangkap merupakan dua kali sudut tertentu  SOAL DAN JAWABAN TRIGONOMETRI SINUS SUDUT GANDA

    Pembahasan :
    sin 3α = sin 2(32α)
    ⇒ sin 3α = 2 sin 32α cos 32α

Baca Juga:   Contoh Soal Dan Pembahasan Banyak Suku (N) Barisan Aritmatika