Soal Dan Balasan Trigonometri Cosinus Jumlah Dan Selisih Sudut

Sebagaimana yang telah diterangkan di atas, dengan memanfaatkan kekerabatan antar sudut kita sanggup menghitung nilai trigonometri sudut-sudut yang tak termasuk sudut istimewa. Misalnya, kita sanggup menghitung cos 75^o dengan memakai rumus cos (30^o + 45^o) atau cos (120^o – 45^o). Sebelum membahas sedikit soal, berikut kami rangkum rumus-rumus trigonometri yang akan dibahas.

Kumplan Soal dan Jawaban cos (α ± β)

1. Dengan memakai nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut khusus, tunjukkanlah bahwa :
   1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β berlaku untuk α = 45^o dan β = 90^o
   2. cos (37^o + 53^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o.

   Pembahasan :

   1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β
      Berdasarkan nilai trigonometri sudut istimewa, kita peroleh :
      sin 45^o = ½√2 ; cos 45^o = ½√2 ; sin 90^o = 1; cos 90^o = 0 ;
      dan cos 135^o = -½√2.

      cos (45^o + 90^o) = cos 45^o .cos 90^o − sin 45^o sin 90^o
      ⇒ cos 135^o = cos 45^o .cos 90^o − sin 45^o sin 90^o
      ⇒ -½√2 = ½√2.(0) − ½√2 (1)
      ⇒ -½√2 = -½√2
      (Terbukti).
   2. cos (37^o + 53^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o.
      Sudut 37^o memang jarang dimasukkan ke dalam sudut istimewa namun termasuk sudut yang harus kita hafal nilainya alasannya kerapkali keluar dalam soal.
      sin 37^o = ⅗ ; cos 37^o = ⅘ ; sin 53^o = ⅘; cos 53^o = ⅗.
      cos (37^o + 53^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o
      ⇒ cos (90^o) = cos 37^o .cos 53^o − sin 37^o sin 53^o
      ⇒ 0 = ⅘ (⅗) − ⅗ (⅘)
      ⇒ 0 = ¹²⁄₂₅ − ¹²⁄25
      ⇒ 0 = 0
      (Terbukti).
2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini :
   1. cos (25^o − β) cos (20^o + β) − sin (25^o − β) sin (20^o + β).
   2. cos (^π⁄₃ + p) cos (^π⁄₆ + p) + sin (^π⁄₃ + p) sin (^π⁄₆ + p)

   Pembahasan :

   1. cos (25^o − β) cos (20^o + β) − sin (25^o − β) sin (20^o + β)
      misalkan (25^o − β) = a dan (20^o + β) = b, maka :
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (a + b)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos {(25^o − β) + (20^o + β)}
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (25^o − β + 20^o + β)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos (25^o + 20^o)
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = cos 45^o
      ⇒ cos a cos b − sin a sin b = ½√2
      Jadi, cos (25^o − β) cos (20^o + β) − sin (25^o − β) sin (20^o + β) = ½√2.
   2. cos (^π⁄₃ + p) cos (^π⁄₆ + p) + sin (^π⁄₃ + p) sin (^π⁄₆ + p)
      misalkan (^π⁄₃ + p) = α  dan (^π⁄₆ + p) = β.
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (α − β)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos {(^π⁄₃ + p) − (^π⁄₆ + p)}
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (^π⁄₃ + p − ^π⁄₆ − p)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos (^π⁄₃ − ^π⁄₆)
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos ^π⁄₆
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = cos 30^o
      ⇒ cos α .cos β + sin α sin β = ½√3
      Jadi, cos (^π⁄₃ + p) cos (^π⁄₆ + p) − sin (^π⁄₃ + p) sin (^π⁄₆ + p) = ½√3.
3. Dengan memakai rumus cos (α ± β), tunjukkanlah bahwa cos (90^o – β) − cos (90^o + β) = 2 sin β.
   Pembahasan :
   cos (90^o – β) − cos (90^o + β) = 2 sin β

   Bila dikerjakan satu persatu :
   cos (90^o – β) = cos 90^o .cos β + sin 90^o sin β
   ⇒ cos (90^o – β) = 0.cos β + 1.sin β
   ⇒ cos (90^o – β) = sin β

   cos (90^o + β) = cos 90^o .cos β − sin 90^o sin β
   ⇒ cos (90^o + β) = 0.cos β − 1.sin β
   ⇒ cos (90^o + β) = -sin β

   Selanjutnya :
   cos (90^o – β) − cos (90^o + β) = 2 sin β
   ⇒ sin β − (-sin β) = 2 sin β
   ⇒ sin β + sin β = 2 sin β
   (Terbukti).
4. Diketahui sudut α dan β merupakan sudut lancip. Jika sin α = ⅗ dan sin β = ⅘, hitunglah nilai dari :
   1. cos (α + β)
   2. cos (α − β)

   Pembahasan :
   Untuk menjawab soal ini, maka kita perlu mencari nilai sin untuk α dan β.
   Karena sin α = ⅗  → cos α = ⅘
   Karena sin β = ⅘ → cos β = ⅗

   1. cos (α + β) = cos α .cos β − sin α sin β
      ⇒ cos (α + β) = ⅘.⅗ − ⅗.⅘
      ⇒ cos (α + β) = ¹²⁄₂₅ −  ¹²⁄₂₅
      ⇒ cos (α + β) = 0.
   2. cos (α − β) = cos α .cos β + sin α sin β
      ⇒ cos(α − β) = ⅘.⅗ + ⅗.⅘
      ⇒ cos (α − β) = ¹²⁄₂₅ +  ¹²⁄₂₅
      ⇒ cos (α − β) = ²⁴⁄₂₅.
5. Tanpa memakai tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai dari :
   1. cos 64^o cos 26^o  − sin 64^o  sin 26^o
   2. cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o
   3. cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o
   4. cos 15^o
   5. cos 75^o

   Pembahasan :

   1. cos 64^o .cos 26^o  − sin 64^o .sin 26^o  = cos (64^o + 26^o)
      ⇒ cos 64^o .cos 26^o  − sin 64^o .sin 26^o  = cos 90^o
      ⇒ cos 64^o .cos 26^o  − sin 64^o .sin 26^o  = 0.
   2. cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o  = cos (34^o + 26^o)
      ⇒ cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o  = cos 60^o
      ⇒ cos 34^o .cos 26^o  − sin 34^o .sin 26^o  = ½.
   3. cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o = cos (140^o − 50^o)
      ⇒ cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o = cos 90^o
      ⇒ cos 140^o .cos 50^o  + sin 140^o .sin 50^o = 0.
   4. cos 15^o = cos (45^o − 30^o)
      ⇒ cos 15^o = cos 45^o .cos 30^o  + sin 45^o .sin 30^o
      ⇒ cos 15^o = ½√2.(½√3) + ½√2.(½)
      ⇒ cos 15^o = ¼√6 + ¼√2
      ⇒ cos 15^o = ¼ (√6 + √2)
   5. cos 75^o = cos (45^o + 30^o)
      ⇒ cos 75^o = cos 45^o .cos 30^o  − sin 45^o .sin 30^o
      ⇒ cos 75^o = ½√2.(½√3) − ½√2.(½)
      ⇒ cos 75^o = ¼√6 − ¼√2
      ⇒ cos 75^o = ¼ (√6 − √2)
6. Buktikan kebenaran korelasi di bawah ini :
   1. cos β + cos (β + 120^o) + cos (β + 240^o) = 0
   2. cos β − cos (β − 120^o) − cos (β − 240^o) = 2 cos β

   Pembahasan :

   1. cos β + cos (β + 120^o) + cos (β + 240^o) = 0
      ⇒ cos β + (cos β cos 120^o − sin β sin 120^o) + (cos β cos 240^o − sin β sin 240^o) = 0

      ⇒ cos β + (-½ cos β − ½√3 sin β) + {(-½cos β) − (-½√3 sin β)} = 0
      ⇒ cos β − ½ cos β − ½√3 sin β − ½ cos β + ½√3 sin β = 0
      ⇒ cos β − ½ cos β − ½ cos β = 0
      ⇒ cos β − cos β = 0.
      ⇒ 0 = 0.
      (Terbukti)
   2. cos β − cos (β − 120^o) − cos (β − 240^o) = 2 cos β
      ⇒ cos β − (cos β cos 120^o + sin β sin 120^o) − (cos β cos 240^o + sin β sin 240^o) = 2 cos β

      ⇒ cos β − (-½ cos β + ½√3 sin β) − {(-½cos β) + (-½√3 sin β)} = 2 cos β

      ⇒ cos β + ½ cos β − ½√3 sin β + ½ cos β + ½√3 sin β = 2 cos β
      ⇒ cos β + ½ cos β + ½ cos β = 2 cos β
      ⇒ cos β + cos β = 2 cos β.
      ⇒ 2 cos β = 2 cos β.
      (Terbukti)

   Rumus cos (α ± β)

   

7. Buktikan kebenaran identitas berikut ini :
   1. cos (α + β) cos (α − β) = cos² α − sin² β
   2. cos (α + β) cos (α − β) = cos² β − sin² α
   3. cos (α + β) cos (α − β) = 1 − (sin² α + sin² β)
   4. cos (α + β) cos (α − β) = (cos² α + cos² β) − 1

   Pembahasan :

   1. cos (α + β) cos (α − β) = cos² α − sin² β
      Kita selesaikan persamaan sebelah kiri :

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = (cos α cos β − sin α sin β)(cos α cos β + sin α sin β)

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α cos² β − sin² α sin² β
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = {cos² α (1 – sin² β)} − {(1 – cos² α) sin² β}

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α − sin² β cos² α − (sin² β – sin² β cos² α) 
      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α − sin² β cos² α − sin² β + sin² β cos² α

      ⇒ cos(α + β).cos (α − β) = cos² α − sin² β.
      (Terbukti).
   2. cos (α + β) cos (α − β) = cos² β − sin² α
      Kita selesaikan persamaan sebelah kiri :

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = (cos α.cos β − sin α.sin β)(cos α.cos β + sin α.sin β)

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² α.cos² β − sin² α.sin² β
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = {(1 – sin² α) cos² β} − {sin² α (1 – cos² β)}

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² β − sin² α cos² β − (sin² α – sin² α cos² β) 

      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² β − sin² α cos² β − sin² α + sin² α cos² β
      ⇒ cos(α + β).cos(α − β) = cos² β − sin² α.
      (Terbukti).