Home BAHAN BELAJAR MATEMATIKA Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

by CerdaskanKita

– Integral Fungsi Trigonometri. Ketika membahas seputar pengertian dan jenis-jenis integral, edutafsi telah menyinggung sedikit seputar jenis integral bedasarkan bentuk fungsinya. Jika dilihat dari bentuk fungsinya, maka ada sedikit jenis integral menyerupai integral fungsi konstanta, integral fungsi pangkat, integral fungsi eksponen, integral fungsi trigonometri, dan sebagainya. Integral fungsi trigonometri merupakan sebuah integral yang integrannya berupa fungsi trigonometri. Dengan kata lain, pada integral tersebut fungsi yang akan diintegrasikan merupakan fungsi berbentuk trigonometri. Lalu, bagaimana bentuk dan rumus dasar untuk integral fungsi trigonometri? Pada hari ini ini, edutafsi akan memaparkan sedikit rumus yang umum dalam integral fungsi trigonometri.

A. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sama sepertti integral pada umumnya, integral fungsi trigonometri secara garis besar sanggup dibedakan menjadi dua jenis, adalah integral tak tentu fungsi trigonometri dan integral tentu fungsi trigonometri. Sesuai dengan definisi integral tak tentu dan integral tentu, maka perbedaan keduanya terletak pada ada taknya batas untuk variabel integrasinya. Pada integral tak tentu fungsi trigonometri tak ada batas untuk variabel integrasinya lagikan pada integral tentu ada batas variabel integrasinya.

Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan bentuk integral yang integran nya berbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tak terdapat batas. Karena variabel integrasinya tak terdapat batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelsaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan integrasi yang disimbolkan dengan abjad c.

Karena fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) berbentuk fungsi trigonometri, maka penyelesaiannya pun melibatkan sedikit konsep atau identitas trigonometri. Oleh alasannya itu, dalam materi ini, murid sebaiknya mengingat kembali konsep-konsep penting yang ada dalam materi trigonometri termasuk identitas trigonometri dan turunan fungsi trigonometri.

Karena integral merupakan operasi balikan dari diferensial (anti diferensial), maka integral dari fungsi trigonometri sanggup diselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan sedikit fungsi trigonometri. Misalnya, turunan dari sin x merupakan cos x, maka integral dari cos x merupakan sin x + c.

 Ketika membahas seputar pengertian dan jenis RUMUS DASAR INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI DILENGKAPI CONTOH

Secara umum, apabila f(x) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tak tentu dari fungsi f(x) sanggup diselesaikan dengan rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut:

Baca Juga:   Cara Merancang Model Matematika Berbentuk Spldv
∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
F(x) = penyelesaian umum dari integral f(x)
dx = variabel integrasi
c = tetapan integrasi.

Untuk melihat bagaimana proses memilih hasil integral tak tentu fungsi trigonometri, berikut ini edutafsi jabarkan sedikit fungsi trigonometri yang umum dipakai dalam soal integral.

#1 Integral Fungsi cos x
Jika diberikan fungsi F(x) = sin x dan f(x) merupakan turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut merupakan:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sin x)/dx
⇒ f(x) = cos x

Karena turunan dari sin x merupakan cos x, maka integral dari f(x) merupakan:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c

Secara umum, persamaan tersebut sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ cos ax dx = 1/a sin ax + c
∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

Contoh :
Jika diberikan f(x) = cos 3x + 5, maka tentukanlah integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos 3x + 5 maka a = 3 dan b = 5
Dit :  ∫ f(x) dx = …. ?

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ (cos 3x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = 1/3 sin (3x + 5) + c.

#2 Integral Fungsi sin x
Jika diberikan fungsi F(x) = cos x dan f(x) merupakan turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut merupakan:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(cos x)/dx
⇒ f(x) = -sin x

Karena turunan dari cos x merupakan -sin x, maka integral dari f(x) merupakan:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ -sin x dx = cos x + c
⇒ ∫ sin x dx = -cos x + c

Secara umum, persamaan tersebut sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ sin ax dx = – 1/a cos ax + c
∫ sin (ax + b) dx = – 1/a cos (ax + b) + c

Contoh :
Tentukanlah hasil integrasi dari ∫ 6 sin 2x dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) = 6 sin 2x maka a = 2
Dit :  ∫ 6 sin 2x dx = …. ?

Baca Juga:   Pengertian, Ciri-Ciri Dan Rumus Umum Barisan Aritmatika

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh :
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 ∫ sin 2x dx
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 (-1/2 cos 2x + c)
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = -3 cos 2x + c.

#3 Integral Fungsi sec2 x
Jika diberikan fungsi F(x) = tan x dan f(x) merupakan turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut merupakan:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(tan x)/dx
⇒ f(x) = sec2 x

Karena turunan dari tan x merupakan sec2 x, maka integral dari f(x) merupakan:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ sec2 x dx = tan x + c

Secara umum, persamaan sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ sec2 ax dx = 1/a tan ax + c
∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + c

Contoh :
Tentukan hasil dari ∫ -4 sec2 (8x) dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) =  -4 sec2 (8x), maka a = 8
Dit : ∫ f(x) dx = …?

Berdasarkan rumus integral di atas, diperoleh:
⇒ ∫ -4 sec2 (8x) dx = -4 ∫ sec2 (8x) dx
⇒ ∫ -4 sec2 (8x) dx = -4 (1/8 tan 8x + c)
⇒ ∫ -4 sec2 (8x) dx = -½ tan 8x + c.

#4 Integral Fungsi tan x. sec x
Jika diberikan fungsi F(x) = sec x dan f(x) merupakan turunan dari F(x), maka turunan dari fungsi tersebut merupakan:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sec x)/dx
⇒ f(x) = tan x. sec x

Karena turunan dari sec x merupakan tan x. sec x, maka integral dari f(x) merupakan:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ tan x. sec x dx = sec x + c

Secara umum, persamaan sanggup diperluas sebagai berikut:

∫ tan ax. sec ax dx = 1/a sec ax + c
∫ tan (ax + b). sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + c

Contoh :
Jika diberi sebuah fungsi f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka tentukan integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5), maka a = 2 dan b = 5
Dit : ∫ f(x) dx = …?

Berdasarkan rumus integral di atas, maka diperoleh:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ tan (2x + 5). sec (2x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = ½ sec (2x + 5) + c.

Baca Juga:   Menentukan Beda Barisan Menurut Konsep Tiga Suku Berurutan

B. Integral Tentu Fungsi trigonometri

Integral tentu fungsi trigonometri merupakan integral dengan integran berupa fungsi trigonometri dan terdapat batas untuk variabel integrasinya. Karena fungsi integran berbentuk trigonometri, maka batas variabel integrasinya berupa besar sudut dan umumnya dinyatakan dengan π radian.

Secara umum, apabila f(x) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tentu dari fungsi f(x) dengan batas atas b dan batas bawah a sanggup diselesaikan dengan rumus dasar integral tentu sebagai berikut:

ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berbentuk trigonometri)
dx = variabel integrasi (berupa sudut dinyatakan dalam π radian)
a = batas bawah variabel integrasi
b = batas atas variabel integrasi.
F(b) = hasil integrasi untuk batas atas
F(a) = hasil integrasi untuk batas bawah.

Contoh :
Tentukanlah hasil integral dari f(x) = cos x dengan batas atas ½π dan batas bawah 0.

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos x, a = 0, b = ½π
Dit :  o½π f(x) dx = …. ?

Untuk mempermudah, kita uraikan satu-persatu. Kita sanggup tentukan F(x) terlebih dahulu.
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c
⇒ F(x) = sin x ….. (1)

Untuk batas atas, subtitusi x = b = π/2 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(π/2) = sin π/2
⇒ F(π/2) = sin 90o
⇒ F(π/2) = 1

Untuk batas bawah, subtitusi x = a = 0 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(0) = sin 0
⇒ F(0) = 0

Berdasarkan rumus integral tentu, maka :
ab f(x) dx = F(b) − F(a)
o½π cos x dx = F(π/2) − F(0)
o½π cos x dx = 1 – 0
o½π cos x dx = 1.

Demikianlah pembahasan singkat seputar pengertian dan rumus integral fungsi trigonometri yang terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu fungsi trigonometri dikompleksi dengan contoh. Jika materi mencar ilmu ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.

You may also like