Perkalian Skalar (Dot Product) Dua Vektor

a . b = |a|.|b| cos θ

Dengan :
|a| = besar vektor a
|b| = besar vektor b
θ = sudut antara vektor a dan b.

Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = aî + bĵ  + ck̂
B = kî + mĵ  + nk̂

Maka persobat semua skalar antara A dan B merupakan :
⇒ A.B = |A|.|B| cos θ
⇒ A.B = √a² + b² + c².√k² + m² + n² cos θ

Rumus persobat semua skalar di atas biasanya dipakai untuk memilih besar sudut antara dua vektor dengan memakai hasil kali menurut perhitungan aljabar. Selain itu, rumus ini juga dipakai untuk memilih nilai variabel dalam vektor apabila sudut apitnya diketahui.

Contoh :

1. Diketahui vektor A = 2î + 5ĵ  + 4k̂ dan B = î + 2ĵ  − 3k̂. Sudut antara A dan B merupakan ….

   A. 90o	D. 45o
   B. 60o	E. 30o
   C. 53o

   Pembahasan :
   Berdasarkan rumus persobat semua skalar :
   ⇒ A.B = |A|.|B| cos θ
   ⇒ (2î + 5ĵ  + 4k̂)(î + 2ĵ  − 3k̂) = |A|.|B| cos θ  
   ⇒ 2(1) + 5(2) + (4)(-3) = |A|.|B| cos θ  
   ⇒ 2 + 10 − 12 = |A|.|B| cos θ  
   ⇒ 0 = |A|.|B| cos θ   

   ⇒ cos θ = 0
   ⇒ θ = 90^o

   Jawaban : A

2. Diketahui vektor a = 2î + 4ĵ  − nk̂ dan B = î + 2ĵ  + 2k̂. Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai n merupakan …..

   A. 100 m	D. 115 m
   B. 105 m	E. 125 m
   C. 110 m

   Pembahasan :
   Berdasarkan konsep persobat semua skalar secara geometris :
   ⇒ a.b = |a|.|b| cos θ
   ⇒ a.b = |a|.|b| cos 90^o
   ⇒ (2î + 4ĵ  − nk̂).(î + 2ĵ  + 2k̂) = |a|.|b| (0)
   ⇒ 2(1) + 4(2) + (-n)(2) = 0
   ⇒ 2 + 8 − 2n = 0
   ⇒ 10 − 2n = 0
   ⇒ -2n = -10
   ⇒ n = 5

Maka persobat semua skalar antara A dan B merupakan :
⇒ A.B = a(k) + b(m) + c(n)

Contoh :
Vektor a dan b diberikan sebagai berikut :

Tentukan hasil persobat semua skalar antara a dan b.