Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 6-10

6. Invers dari fungsi :

   f(x) =	3x – 2
   	5x + 8

   dengan x ≠ -8/5 merupakan f^-1(x) = ….

   A.	-8x + 2
   	5x – 3

   B.	8x – 2
   	5x + 3

   C.	8x – 2
   	3 + 5x

   D.	8x + 2
   	3 – 5x

   E.	-8x + 2
   	3 – 5x

   Pembahasan : 
   Untuk memilih invers dari fungsi yang berbentuk pembagian menyerupai pada soal, kita sanggup memakai rumus khusus. Jika diketahui fungsi :

   f(x) =	ax + b
   	cx + d

   Maka inversnya merupakan :

   f-1(x) =	-dx + b
   	cx – a

   Pada soal diketahui :

   ⇒ f(x) =	3x – 2
   	5x + 8

   ⇒ a = 3, b = -2, c = 5 dan d = 8.

   Berdasarkan rumus di atas, maka inversnya merupakan :

   ⇒ f-1(x) =	-dx + b
   	cx – a

   ⇒ f-1(x) =	-8x + (-2)
   	5x – 3

   ⇒ f-1(x) =	-(8x + 2)
   	-(3 – 5x)

   ⇒ f-1(x) =	8x + 2
   	3 – 5x

   Jawaban : D

Read more : Soal dan Jawaban Fungsi Komposisi dan Invers.

7. Bila x₁ dan x₂ merupakan penyelesaian dari persamaan 2^2x – 6.2^x+1 + 32 = 0 dengan x₁ > x₂, maka nilai dari 2x₁ + x₂ = ….

   A. 1/4	D. 8
   B. 1/2	E. 16
   C. 4

   Pembahasan :
   Soal di atas sanggup diselesaikan dengan memakai konsep akar persamaan kuadrat. Untuk itu, kita ubah terlebih dahulu soalnya menyerupai berikut :
   ⇒ 2^2x – 6.2^x+1 + 32 = 0
   ⇒ 2^2x – 6.2^x.2¹ + 32 = 0
   ⇒ (2^x)² – 12.2^x + 32 = 0

   Kita misalkan 2^x = P, maka persamaannya menjadi :
   ⇒ P² – 12P + 32 = 0
   ⇒ (P – 4)(P – 8) = 0
   ⇒ P = 4 atau P = 8

   Selanjutnya kita kembalikan nilai P untuk memilih nilai x₁ dan x₂.
   Untuk P = 4
   ⇒ 2^x = P
   ⇒ 2^x = 4
   ⇒ 2^x = 2²
   ⇒ x = 2

   Untuk P = 8
   ⇒ 2^x = P
   ⇒ 2^x = 8
   ⇒ 2^x = 2³
   ⇒ x = 3

   Karena pada soal disebutkan x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 2. Dengan demikian :
   ⇒ 2x₁ + x₂ = 2(3) + 2
   ⇒ 2x₁ + x₂ = 6 + 2
   ⇒ 2x₁ + x₂ = 8

   Jawaban : D

Read more : Soal dan Jawaban Eksponen.

8. Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan eksponen 9^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4 merupakan ….
   1. {x| 2 ≤ x ≤ 10/3}
   2. {x| -10/3 ≤ x ≤ 2}
   3. {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
   4. {x| x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
   5. {x| -10/3 ≤ x ≤ -2}

   Pembahasan :
   ⇒ 9^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4
   ⇒ (3²)^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4
   ⇒ (3)^4x-8 ≥ (3^-3)^x2-4
   ⇒ (3)^4x-8 ≥ (3)^-3x2+12
   ⇒ 4x – 8 ≥ -3x² + 12
   ⇒ 3x² – 12 + 4x – 8 ≥ 0
   ⇒ 3x² + 4x – 20 ≥ 0

   Jika kita selesaikan persamaannya, maka kita peroleh :
   ⇒ 3x² + 4x – 20 = 0
   ⇒ (3x + 10)(x – 2) = 0
   ⇒ x = -10/3 atau x = 2

   Untuk memilih himpunan penyelesaian pertaksamaannya, kita gunakan derma garis bilangan dan menyelidiki nilai-nilai di antara x yang diperoleh.

   ++++++++	– – – – – – –	+++++++
   -10/3		2

   Berdasarkan garis bilangan, maka himpunan penyelesaiannya merupakan :
   ⇒ {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}

   Jawaban : C

Read more : Contoh Soal dan Jawaban Sifat Eksponen.

9. Akar-akar persamaan ²log² x – 6 ²log x + 8 = ²log 1 merupakan x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = …

   A. 6	D. 12
   B. 8	E. 20
   C. 10

   Pembahasan :
   Sama menyerupai soal nomor 7, soal di atas juga sanggup diselesaikan dengan memakai prinsip persamaan kuadrat. Untuk itu kita ubah soalnya menjadi persamaan kuadra sebagai berikut :
   ⇒ ²log² x – 6 ²log x + 8 = ²log 1
   ⇒ ²log² x – 6 ²log x + 8 = 0
   ⇒ (²log x)² – 6 ²log x + 8 = 0

   Kita misalkan ²log x = P, maka persamaannya menjadi :
   ⇒ (²log x)² – 6 ²log x + 8 = 0
   ⇒ P² – 6P + 8 = 0
   ⇒ (P – 2)(P – 4) = 0
   ⇒ P = 2 atau P = 4

   Selanjutnya, kita kembalikan nilai P untuk memilih nilai x.
   Untuk P = 2
   ⇒ ²log x = P
   ⇒ ²log x = 2
   ⇒ ²log x = ²log 2²
   ⇒ x = 2²

   ⇒ x₁ = 4

   Untuk P = 4
   ⇒ ²log x = P
   ⇒ ²log x = 4
   ⇒ ²log x = ²log 2⁴
   ⇒ x = 2⁴
   ⇒ x₂ = 16

   Dengan demikian :
   ⇒ x₁ + x₂ = 4 + 16
   ⇒ x₁ + x₂ = 20

   Jawaban : E

Read more : Pembahasan Soal SBMPTN wacana Persamaan Logaritma.

10. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang kemudian merupakan 5 : 6. Hasil kali umur keduanya kini merupakan 1.512. Umur Ali kini merupakan … tahun.

    A. 30	D. 38
    B. 35	E. 42
    C. 36

    Pembahasan :
    Untuk mempermudah, kita lakukan pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Umur Ali kini = A
    ⇒ Umur Budi kini = B

    Perbandingan umur Ali dan Budi 6 tahun yang kemudian :

    ⇒	A – 6	=	5
    	B – 6		6

    Hasil kali umum Ali dan Budi kini :
    ⇒ A . B = 1.512

    Dari perbandingan umur kita peroleh persamaan :

    ⇒	A – 6	=	5
    	B – 6		6

    ⇒ 6(A – 6) = 5(B – 6)
    ⇒ 6A – 36 = 5B – 30
    ⇒ 6A – 36 + 30 = 5B
    ⇒ 6A – 6 = 5B
    ⇒ B = 6/5A – 6/5

    Substitusi nilai B ke persamaan hail kali umur :
    ⇒ A . B = 1.512
    ⇒ A(6/5A – 6/5) = 1.512
    ⇒ 6/5A² – 6/5A = 1.512
    ⇒ 6/5A² – 6/5A – 1.512  = 0

    Perhatikan persamaan kuadrat yang kita peroleh di atas. Selanjutnya kita kali kedua ruas dengan 5 sesampai kemudian kita peroleh :
    ⇒ 6A² – 6A – 7560 = 0
    ⇒ a = 6, b = -6, c = -7560

    Dengan memakai rumus abc, kita peroleh :

    ⇒ A1,2 =	-b ± √b2 – 4ac
    	2a

    ⇒ A1,2 =	6 ± √36 – 4(6)(-7560)
    	2(6)

    ⇒ A1,2 =	6 ± √36 + 181440
    	12

    ⇒ A1,2 =	6 ± √181476
    	12

    ⇒ A1,2 =	6 ± 426
    	12

    ⇒ A1 =	6 – 426
    	12

    Tidak Memenuhi alasannya yaitu bernilai negatif.

    Dengan demikian nilai A yang memenuhi merupakan :

    ⇒ A2 =	6 + 426
    	12

    ⇒ A2 =	432
    	12

    ⇒ A = 36
    Jadi, umur Ali kini merupakan 36 tahun.

    Jawaban : C

Read more : Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus abc.