Home UN MATEMATIKA 2008 Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11+-15+

Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11+-15+

by CerdaskanKita
  1. Persamaan garis singgung melalui titik A(-2, -1) pada bundar x2 + y2 + 12x – 6y + 13 = 0 merupakan …
    1. -2x – y – 5 = 0
    2. x – y + 1 = 0
    3. x + 2y + 4 = 0
    4. 3x – 2y + 4 = 0
    5. 2x – y + 3 = 0

    Pembahasan :
    Persamaan bundar x2 + y2 + 12x – 6y + 13 = 0 sanggup diubah ke dalam bentuk umum persamaan bundar dengan sentra (a, b) dan jari-jari R, adalah :

    (x − a)2 + (y − b)2 = R2

    Jika diubah ke dalam bentuk tersebut, maka :
    ⇒ x2 + y2 + 12x – 6y + 13 = 0
    ⇒ (x2 + 12x) + (y2 – 6y) + 13 = 0
    ⇒ {(x + 6)2 – 36} + {(y – 3)2  – 9} + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y – 3)2 – 36 – 9 + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y – 3)2 – 32 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y – 3)2 = 32
    Diperoleh : a = -6, b = 3, R2 = 32.

    Kita sudah memperoleh bentuk umum persamaan lingkarannya. Sekarang, kita tentukan persamaan garis singgungnya.

    Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada bundar (x − a)2 + (y − b)2 = R2 sanggup ditentukan dengan rumus berikut :

    (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = R2

    Dari soal diketahui garis singgung melalui titik A(-2, -1), maka x1 = -2 dan y1 = -1.
    ⇒ (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = R2
    ⇒ (-2 − (-6))(x − (-6)) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
    ⇒ (-2 + 6)(x + 6) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
    ⇒ 4(x + 6) + {-4(y − 3)} = 32
    ⇒ 4x + 24 – 4y + 12 = 32
    ⇒ 4x – 4y + 36 = 32
    ⇒ 4x – 4y + 4 = 0
    ⇒ x – y + 1 = 0

    Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran.

  1. Salah satu faktor suku kaya P(x) = x4 – 15x2 – 10x + n merupakan (x + 2). Faktor lainnya merupakan ….
    A. x – 4 D. x – 6
    B. x + 4 E. x – 8
    C. x + 6

    Pembahasan :
    Karena salah satu faktor suku kaya sudah diketahui adalah (x + 2), maka untuk mengetahui faktor yang lain, kita harus memilih hasil baginya terlebih dahulu.

    Hasil bagi sanggup kita tentukan dengan metode sintetik. Jika P(x) = x4 – 15x2 – 10x + n dibagi (x + 2), maka :

    -2 1 -15 -10 n
    -2  4 22 -24 +
    1 -2 -11 12 n – 24

    Hasil bagi h(x) = x3 – 2x2 – 11x + 12 dan sisa bagi s(x) = n – 24.

    Karena (x + 2) merupakan faktor suku kaya, maka sisa pembagiannya sama dengan nol. Pada metode di atas, kita peroleh sisa bagi n – 24. Maka nilai n merupakan :
    ⇒ n – 24 = 0
    ⇒ n = 24

    Karena n = 24, maka persamaan suku kayanya merupakan :
    ⇒ P(x) = x4 – 15x2 – 10x + 24

    Berdasarkan teorema sisa, hubungan suku kaya dengan hasil bagi sanggup ditulis sebagai berikut :

    P(x) = h(x).g(x) + s(x)

    Dengan :
    P(x) = suku kaya
    h(x) = hasil bagi
    g(x) = pembagi
    s(x) = sisa bagi

    Berdasarkan teorema tersebut, maka kita peroleh :
    ⇒ P(x) = h(x).g(x) + s(x)
    ⇒ P(x) = x3 – 2x2 – 11x + 12 (x + 2) + 0

    Untuk mengetahui faktor lainnya, kita sanggup melihat persaman x3 – 2x2 – 11x + 12 sebagai berikut :
    ⇒ P(x) = x3 – 2x2 – 11x + 12 (x + 2)
    ⇒ P(x) = (x – 4)(x + 3)(x – 1)(x + 2)
    Kaprikornus faktor lainnya merupakan (x – 4), (x + 3), dan (x – 1).

    Jawaban : A

Read more : Soal dan Pembahasan Menentukan Faktor Suku Banyak.

  1. Pada toko buku “murah”, Adil membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar …
    1. Rp 5.000,00
    2. Rp 6.500,00
    3. Rp 10.000,00
    4. Rp 11.000,00
    5. Rp 13.000,00

    Pembahasan :
    Untuk mempermudah, kita sanggup lakukan pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Harga 1 buku = B
    ⇒ Harga 1 pulpen = P
    ⇒ Harga 1 pensil = L

    Jika ditulis dalam bentuk persamaan matematika, maka soal di atas sanggup ditulis dalam sistem persamaan sebgai berikut :
    ⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000 ….(1)
    ⇒ 3B + 3P + L = 21.500 ….(2)
    ⇒ 3B + L = 12.500 ….(3)

    Dari persamaan (2) dan (3) :

    3B + 3P + L = 21.500
    3B         + L = 12.500  –
    3P = 9.000
    P = 3.000

    Substitusi nilai P ke persamaan (1) :
    ⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000
    ⇒ 4B + 2(3000) + 3L = 26.000
    ⇒ 4B + 3L = 20.000 ….(4)

    Substitusi nilai P ke persamaan (2) :
    ⇒ 3B + 3P + L = 21.500
    ⇒ 3B + 3(3000) + L = 21.500
    ⇒ 3B + L = 12.500 ….(5)

    Dari persamaan (4) dan (5) :
    4B + 3L = 20.000  |x 1|
    3B + L = 12.500  |x 3|

    4B + 3L = 20.000
    9B + 3L = 37.500  –
    -5B = -17.500
    B = 3.500

    Substitusi nilai B ke persamaan (5) :
    ⇒ 3B + L = 12.500
    ⇒ 3(3.500) + L = 12.500
    ⇒ L = 2.000

    Karena Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka uang yang harus ia keluarkan merupakan :
    ⇒ 2P + 2L = 2(3000) + 2(2000)
    ⇒ 2P + 2L = 6.000 + 4.000
    ⇒ 2P + 2L = 10.000,00
    Jadi, Dina harus membayar Rp 10.000,00

    Jawaban : C

Read more : Gradien dan Persamaan Garis Linear.

  1. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertaksamaan linear.
    Persamaan garis singgung melalui titik A Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11+-15+
    Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y merupakan ….
    A. 88 D. 106
    B. 94 E. 196
    C. 102

    Pembahasan :
    Untuk menuntaskan soal di atas, kita harus memilih titik potong antar kedua garis. Titik potong tersebut sanggup kita tentukan dengan memilih persamaan garisnya terlebih dahulu.

    Untuk memilih persamaan garis apabila grafiknya diketahui sanggup dipakai rumus berikut :

    ax + by = ab

    Persamaan garis singgung melalui titik A Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11+-15+
    Dengan memakai metode tersebut, maka diperoleh persamaan kedua garis, adalah :
    Garis 1 → 20x + 12y = 240 → 5x + 3y = 60.
    Garis 2 → 15x + 18y = 270 → 5x + 6y = 90.

    Dari gambar di atas, ada tiga titik yang mecukupkan untuk memperoleh nilai maksimum adalah tiik A, B, dan C. Titik A dan C sanggup kita tentukan dengan melihat gambar adalah A(0, 15) dan C(12, 0).

    Titik B merupakan titik potong antara garis 1 dan garis 2 :

    5x + 3y = 60
    5x + 6y = 90  –
    -3y = -30
    y = 10

    Substitusi nilai y ke persamaan garis 1 :
    ⇒ 5x + 3y = 60
    ⇒ 5x + 30 = 60
    ⇒ 5x = 30
    ⇒ x = 6
    Jadi, titik B(6, 10)

    Untuk mengetahu nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = 7x + 6y, maka subsitusikan masing-masing titik sebagai berikut :

    Titik Pojok f(x,y) = 7x + 6y
    A(0, 15) 80
    B(6, 10) 102 → maksimum
    C(12, 0) 84
    Jadi, nilai maksimumnya merupakan 102.
    Jawaban : C

Read more : Menyusun Sistem Pertaksamaan Linear Jika Grafiknya Diketahui.

  1. Seorang pembuat camilan bagus memiliki 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah camilan bagus jenis A diharapkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, lagikan untuk membuat sebuah camilan bagus jenis B diharapkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika camilan bagus A dijual dengan harga Rp 4.000,00/buah dan camilan bagus B dijual dengan harga Rp 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang sanggup diperoleh pembuat camilan bagus tersebut merupakan …
    1. Rp 600.000,00
    2. Rp 650.000,00
    3. Rp 700.000,00
    4. Rp 750.000,00
    5. Rp 800.000,00

    Pembahasan :

    A B Stok
    Gula 20 20 4.000
    Tepung 60 40 9.000

    Berdasarkan tabel tersebut, maka model matematika untuk soal tersebut merupakan :
    ⇒ 20x + 20y ≤ 4.000 → x + y ≤ 200
    ⇒ 60x + 40y ≤ 9.000 → 3x + 2y ≤ 450
    ⇒ x ≥ 0, y ≥ 0
    ⇒ Fungsi tujuan f(x,y) = 4.000x + 3.000y

    Dari grafik di atas terperinci terlihat ada tiga titik pojok yang mecukupkan nilai maksimum, adalah A, B dan C. Titik A dan C berturut-turut merupakan (0, 200) dan (150, 0).

    Titik B merupakan tiitk potong kedua garis :

    x + y = 200  |x 2|
    3x + 2y = 450  |x 1|

    2x + 2y = 400
    3x + 2y = 450  –
    -x = -50
    x = 50

    Substitusi nilai x ke persamaan garis 1 :
    ⇒ x + y = 200
    ⇒ 50 + y = 200
    ⇒ y = 150
    Kaprikornus titik B(50, 150)

    Pendapatan maksimum :

    Titik Pojok f(x,y) = 4.000x + 3.000y
    A(0, 200) 600.000
    B(50, 150) 650.000 → maksimum
    C(150, 0) 600.000

    Jadi, pendapatan maksimumnya merupakan Rp 650.000,00.

    Jawaban : B

Read more : Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif Pertaksamaan Linear.

Baca Juga:   Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 16+-20

You may also like