Home PEMBAHASAN UN MATEMATIKA Pembahasan Soal Ujian Nasional Suku Banyak

Pembahasan Soal Ujian Nasional Suku Banyak

by CerdaskanKita

Model soal suku kaya yang kerap muncul dalam ujian nasional antara lain :

  1. Menentukan faktor suku kaya apabila salah satu faktornya diketahui
  2. Menentukan sisa bagi suatu suku kaya
  3. Menentukan sisa bagi suatu suku kaya menurut sisa bagi dari suku kaya yang lain
  4. Menentukan nilai variabel tertentu dalam suku kaya 
  5. Menentukan persamaan suku kaya apabila sisa baginya diketahui

Kumpulan Soal

  1. (Ujian Nasional 2005/2006)
    Suatu suku kaya P(x) dibagi oleh (x2 – 1) sisanya (12x – 23) dan apabila dibagi oleh (x – 2), sisanya 1. Sisa pembagian suku kaya oleh (x2 – 3x + 2) merupakan …
    A. 12x – 23
    B. -12x + 1
    C. -10x + 1
    D. 24x + 1
    E. 24x – 27

    Pembahasan :
    Berdasarkan teorema sisa, suatu suku kaya sanggup ditulis sebagai berikut :

    P(x) = h(x) . g(x) + s(x)

    dengan :
    P(x) = suku kaya
    h(x) = hasil bagi
    g(x) = pembagi
    s(x) = sisa pembagian

    Dengan demikian, maka suku kaya dalam soal sanggup ditulis sebagai berikut :
    P(x) = h(x) (x2 – 1) +  (12x – 23)
    P(x) = h(x) (x – 2) +  1

    Selanjutnya, masih menurut konsep teorema sisa jikalau suatu suku kaya P(x) dibagi oleh (ax – b), maka sisanya merupakan :

    s(x) = P(-b/a)

    dengan :
    s(x) = sisa bagi
    -b/a diambil dari (ax – b)

    Sebagian buku memakai rumus s(x) = P(b/a). Sebenarnya itu sama saja hanya perbedaan cara saja. Sebagai contoh, misal pembaginya merupakan 2x – 4, maka sisa nya merupakan s(x) = P(-b/a) dengan catatan dari 2x – 4 diketahui a = 2 dan b = -4 sesampai lalu P(-b/a) = P(4/2) = P(2). Sebaliknya dengan cara lain, s(x) = P(b/a) dengan catatan dari 2x – 4 diproleh x = 4/2 sesampai lalu P(b/a) = P(4/2) =  P(2). Kaprikornus tolong-menolong sama saja.

    Berdasarkan konsep tersebut maka diperoleh :
    Dibagi dengan (x2 – 1) → -b/a = 1
    P(1) = 12x – 23
    P(1) = 12(1) – 23 = 12 – 23
    P(1) = -11

    Dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
    P(2) = 1

    Karena ditanya sisa bagi apabila dibagi dengan (x2 – 3x + 2), maka kita sanggup memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Karena x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x -1) maka sanggup dilihat bahwa untuk (x – 2) → -b/a = 2 dan untuk (x -1) → -b/a = 1. Dengan demikian maka diperoleh :
    Dibagi dengan (x -1)
    P(1) = ax + b
    P(1) = a(1) + b
    P(1) = a + b
    P(1) = -11 → lantaran dari soal diketahui P(1) = -11
    maka a + b = -11

    Dibagi dengan (x – 2)
    P(2) = ax + b
    P(2) = a(2) + b
    P(2) = 2a + b
    P(2) = 1 → lantaran dari soal diketahui P(2) = 1
    maka 2a + b = 1

    Selanjutnya kita sanggup menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
    a + b = -11 → a = -11 – b → substitusi ke persamaan 2a + b = 1
    2a + b = 1
    2 (-11 – b) + b = 1
    -22 – 2b + b = 1
    -b = 23
    b = -23

    Karena b = -23, maka diperoleh
    a = -11 – b
    a = -11 – (-23)
    a = 12

    Kaprikornus sisa bagi suku kaya tersebut apabila dibagi dengan (x2 – 3x + 2) merupakan :
    s(x) = ax + b = 12x + (-23) = 12x – 23 —> opsi A.

  2. (Ujian Nasional 2006/2007)
    Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, lagikan apabila dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2)(2x – 3), maka sisanya merupakan …
    A. 8x + 8
    B. 8x – 8
    C. -8x + 8
    D. -8x – 8
    E. -8x + 6

    Pembahasan :
    Berdasarkan teorema sisa, suatu suku kaya sanggup ditulis sebagai berikut :

    f(x) = h(x) . g(x) + s(x)

    dengan :
    f(x) = suku kaya
    h(x) = hasil bagi
    g(x) = pembagi
    s(x) = sisa pembagian

    Dengan demikian, maka suku kaya dalam soal sanggup ditulis sebagai berikut :
    f(x) = h(x) (x – 2) +  24
    f(x) = h(x) (2x – 3) +  20

    Selanjutnya, masih menurut konsep teorema sisa jikalau suatu suku kaya P(x) dibagi oleh (ax – b), maka sisanya merupakan :

    s(x) = f(-b/a). 

    dengan :
    s(x) = sisa bagi
    -b/a diambil dari (ax – b)

    Berdasarkan konsep tersebut maka diperoleh :
    Dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
    f(2) = 24
    Dibagi dengan (2x – 3) → -b/a =3/2

    f(3/2) = 20

    Karena ditanya sisa bagi apabila dibagi dengan (x – 2)(2x – 3), maka kita sanggup memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Dengan demikian maka diperoleh :
    Dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
    f(2) = ax + b
    f(2) = a(2) + b
    f(2) = 2a + b
    f(2) = 24 → lantaran dari soal diketahui f(2) = 24
    maka 2a + b = 24

    Dibagi dengan (2x – 3) → -b/a =3/2
    f(3/2) = ax + b
    f(3/2) = a(3/2) + b
    f(3/2) = (3/2)a + b
    f(3/2) = 20 → lantaran dari soal diketahui f(3/2) = 20
    maka (3/2)a + b = 20

    Selanjutnya kita sanggup menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
    2a + b = 24 → b = 24 – 2a → substitusi ke persamaan (3/2)a + b = 20
    (3/2)a + b = 20

    (3/2)a + ( 24 – 2a) = 20
    (3/2 – 2)a = -4
    -½ a = -4
    a = 8
    Karena a = 8, maka diperoleh
    b = 24 – 2a
    b = 24 – 2(8)
    b = 24 – 16
    b = 8

    Kaprikornus sisa bagi suku kaya tersebut apabila dibagi dengan (x – 2)(2x – 3) merupakan :
    s(x) = ax + b = 8x + 8 —> opsi A.

  3. (Ujian Nasional 2007/2008)
    Salah satu faktor suku kaya P(x) = x4 – 15x2 – 10x + n merupakan (x + 2). Faktor lainnya merupakan …
    A. x – 4
    B. x + 4
    C. x + 6
    D. x – 6
    E. x – 8

    Pembahasan :
    Berdasarkan konsep teorema sisa, faktor suku kaya merupakan fungsi yang apabila suku kaya dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku kaya akan habis jikalau dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax – b, maka berlaku :

    P(-b/a) = 0

    dengan :
    ax – b disebut faktor suku kaya P(x)
    x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0

    Karena dibagi dengan (x + 2) → -b/a = -2, maka diperoleh :
    P(-b/a) = x4 – 15x2 – 10x + n = 0
    P(-2) = (-2)4 – 15(-2)2 – 10(-2) + n = 0
    16 – 60 + 20 + n = 0
    n = 24

    Karena n = 24, maka suku kayanya menjadi :
    P(x) = x4 – 15x2 – 10x + 24

    Dengan memakai metode sintetik kita sanggup mengetahui faktor lainnya.
    -2 | 1    0    -15    -10     24
        |      -2      4       22    -24
        ——————————— +
          1   -2    -11     12     0

    Angka yang berwarna merah merupakan hasil bagi yang apabila ditulis menjadi suku kaya merupakan :
    h(x) = x3 – 2x2 – 11x + 12.

    Dari hasil bagitersebut kita sanggup memilih faktor suku kaya yang lain adalah :
    x3 – 2x2 – 11x + 12 = (x – 4)(x + 3)(x -1)

    Berdasarkan konsep teorima sisa diperoleh :
    P(x) = x4 – 15x2 – 10x + 24 = (x + 2)(x – 4)(x + 3)(x -1)

    Tulisan berwarna biru merupakan faktor dari suku kaya tersebut. Kaprikornus faktor lain yang ada dalam opsi merupakan (x – 4) —> opsi A.

  4. (Ujian Nasional 2008/2009)
    Suku kaya f(x) dibagi dengan (x – 2) sisa 1, dibagi dengan (x + 3) sisa -8. Suku kaya g(x) dibagi (x – 2) sisa 9, dibagi dengan (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dibagi x2 + x – 6 merupakan …
    A. 7x – 1
    B. 6x -1
    C. 5x -1
    D. 4x – 1
    E. 3x – 1

    Pembahasan :
    Sesuai dengan konsep teorema sisa ibarat no 1 dan no 2, maka :
    f(x) dibagi (x – 2) sisa 1 → f(2) = 1
    f(x) dibagi (x + 3) sisa 8 → f(-3) = -8
    g(x) dibagi (x – 2) sisa 9 → g(2) = 9
    g(x) dibagi (x + 3) sisa 2 → g(-3) = 2

    h(x) = f(x).g(x)
    h(2) = f(2).g(2) = 1(9) = 9
    h(-3) = f(-3).g(-3) = -8(2) = -16

    Misalkan h(x) dibagi dengan  x2 + x – 6 bersisa ax + b. Karena x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2), maka diperoleh :
    h(x) dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3
    h(-3) = ax + b
    h(-3) = -3a + b
    h(-3) = -16 —> di atas diperoleh h(-3) = -16
    maka -3a + b = -16

    h(x) dibagi dengan (x – 3) → -b/a = 2
    h(2) = ax + b
    h(2) = 2a + b
    h(2) = 9 —> di atas diperoleh h(2) = 9
    maka 2a + b = 9

    Untuk mengetahui nilai a dan b sanggup dipakai cara substitusi ataupun eliminasi.
    2a + b = 9 → b = 9 – 2a → substitusi ke -3a + b = -16
    -3a + b = -16
    -3a + (9 – 2a) = -16
    -5a = -25
    a = 5

    Karena a = 5 maka diperoleh :
    b = 9 – 2a
    b = 9 – 2(5)
    b = -1

    Kaprikornus sisa pembagian h(x) dibagi dengan x2 + x – 6 merupakan :
    s(x) = ax + b = 5x – 1 —> opsi C.

  5. (Ujian Nasional 2009/2010)
    Diketahui (x – 2) merupakan faktor dari suku kaya f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika dibagi dengan (x + 3) sisanya -50. Nilai a + b merupakan …
    A. 10
    B. 4
    C. -6
    D. -11
    E. -13

    Pembahasan :
    Karena x – 2 merupakan faktor suku kaya, maka suku kaya f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 akan habis dibagi dengan x – 2 atau s(x) = 0.

    Jika dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2, maka diperoleh :
    P(-b/a) = 2x3 + ax2 + bx – 2 = 0
    P(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) -2  = 0
    16 + 4a + 2b – 2 = 0
    4a + 2b = -14
    2a + b = -7

    Jika dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3, maka diperoleh :
    P(-b/a) = 2x3 + ax2 + bx – 2 = -50
    P(-3) = 2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) -2  = -50
    -54 + 9a – 3b – 2 = -50
    9a – 3b = 6
    3a – b = 2

    Untuk menerima nilai a dan b maka sanggup dipakai metode eliminasi ataupun metode substitusi. Di bawah ini dipakai metode substitusi :
    2a + b = -7  → b = -7 – 2a → substitusi ke 3a – b = 2
    3a – b = 2
    3a – (-7 – 2a) = 2
    3a + 2a + 7 = 2
    5a = -5
    a = -1

    selanjutnya kita cari nilai b sebagai berikut :
    b = -7 – 2a
    b = -7 – 2(-1)
    b = -5

    Kaprikornus nilai a + b = -1 + (-5) = -6  —> opsi C.

  6. (Ujian Nasional 2010/2011)
    Diketahui suku kaya P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1. Maka nilai 2a + b merupakan …
    A. 13
    B. 10
    C. 8
    D. 7
    E. 6

    Pembahasan :
    Berdasarkan teorema sisa diperoleh :
    Dibagi dengan (x – 1) → -b/a = 1
    P(1) = 2(1)4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b = 11
    2 + a – 3 + 5 + b = 11
    a + b = 11 – 4
    a + b = 7

    Dibagi dengan (x + 1) → -b/a = -1
    P(-1) = 2(-1)4 + a(-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1) + b = -1
    2 – a – 3 – 5 + b = -1
    -a + b = -1 + 6
    -a + b = 5

    Dengan metode substitusi diperoleh :
    a + b = 7 → b = 7 – a → substitusi ke -a + b = 5
    -a + b = 5
    -a + (7 – a) = 5
    -2a = 5 – 7
    a = 1

    lantaran a = 1, maka b merupakan :
    b = 7 – a
    b = 7 – 1 = 6

    Kaprikornus nilai 2a + b = 2(1) + 6 = 8 —> opsi C.

  7. (Ujian Nasional 2010/2011)
    Diketahui (x – 2) dan (x – 1) merupakan faktor-faktor suku kaya P(x) = x3 + ax2 – 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku kaya tersebut merupakan x1, x2, dan x3, untuk x1 > x2 > x3, nilai x1 – x2 – x3 merupakan …
    A. 8
    B. 6
    C. 3
    D. 2
    E. 4

    Pembahasan :
    Berdasarkan konsep teorema sisa, faktor suku kaya merupakan fungsi yang apabila suku kaya dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku kaya akan habis jikalau dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax – b, maka berlaku :

    P(-b/a) = 0

    dengan :
    ax – b disebut faktor suku kaya P(x)
    x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0

    Untuk menuntaskan soal ibarat ini, kita sanggup mencari faktor yang ketiga terlebih dahulu dengan cara :
    Jika dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
    P(2) = 23 – a(2)2 – 13(2) + b = 0
    8 + 4a – 26 + b = 0
    4a + b = 18

    Jika dibagi dengan (x – 1) → -b/a = 1
    P(1) = 13 + a(1)2 – 13(1) + b = 0
    1 + a – 13 + b = 0
    a + b = 12

    Dengan metode substitusi diperoleh :
    a + b = 12 → b = 12 – a → substitusi ke 4a + b = 18
    4a + b = 18
    4a + 12 – a = 18
    3a = 6
    a = 2

    lantaran a = 2 maka b merupakan :
    b = 12 – a
    b = 12 – 2 = 10

    Dengan begitu berarti faktor lain dari suku kaya tersebut merupakan ax + b = 2x + 10. Selanjutnya, lantaran 2x + 10 merupakan faktor, maka P(x) dibagi dengan 2x + 10 sisanya akan sama dengan nol. Berdasarkan konsep tersebut, maka dieproleh :
    dibagi (x – 2) sisa = 0, maka faktor x = 2
    dibagi (x – 1) sisa = 0, maka faktor x = 1
    dibagi (2x + 10) sisa = 0, maka faktor x = -10/2 = -5

    Karena x1 > x2 > x3, maka :
    x1 = 2
    x2 = 1
    x3 = -5

    Kaprikornus nilai x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (-5) = 6 —> opsi B.

  8. (Ujian Nasional 2011/2012)
    Suku bayak berderajat 3 apabila dibagi dengan (x2 – x – 6) bersisa (5x – 2), apabila dibagi dengan (x2 – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku kaya tersebut merupakan …
    A. x3 – 2x2 + x + 4
    B. x3 – 2x2 + x – 4
    C. x3 – 2x2 – x – 4
    D. x3 – 2x2 + 4
    E. x3 – 2x2 – 4

    Pembahasan : 
    Dibagi dengan (x2 – x – 6) → dibagi dengan (x – 3)(x + 2)
    P(3) = 5x – 2 = 5(3) – 2 = 13
    P(-2) = 5x – 2 = 5(-2) – 2 = -12

    Dibagi dengan (x2 – 2x – 3) → dibagi dengan (x – 3)(x + 1)
    P(3) = 3x + 4 = 3(3) + 4 = 13
    P(-1) = 3x + 4 = 3(-1) + 4 = 1

    Misalkan P(x) = ax3 + bx2 + cx + k
    P(3) = 27a + 9b + 3c + k = 13
    P(-2) = -8a + 4b – 2c + k = -12
    P(-1) = -a + b – c + k = 1

    Nilai a. b. c, dan k adapat dicari dengan metode eliminasi. Untuk tujuan praktis, dari tiga persamaan P(3), P(-2), dan P(-1), pilih P(-1) lantaran paling simpel. Selanjutnya uji nilai x = -1 ke persamaan yang ada pada opsi. Persamaan yang kesudahannya sama dengan 1 merupakan jawabannya. Dari kelima opsi, opsi D sama dengan 1 apabila nilai x = -1. Kaprikornus suku kaya yang dimaksud merupakan x3 – 2x2 + 4 —> opsi D.

Baca Juga:   Pembahasan Soal Ujian Nasional Statistika

You may also like