Home PEMBAHASAN UN MATEMATIKA Pembahasan Soal Ujian Nasional Proyeksi Vektor

Pembahasan Soal Ujian Nasional Proyeksi Vektor

by CerdaskanKita

Ujian Nasional Matematika – Vektor. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika perihal vektor. Biasanya, ada dua soal perihal vektor yang keluar dalam ujian nasional. Dari sedikit soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal vektor yang paling kerap muncul merupakan memilih proyeksi vektor orthogonal, memilih nilai koefisien menurut proyeksi vektor, dan memilih panjang proyesi vektor atau proyeksi skalar orthogonal.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Vektor

  1. Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7, 8, -1) dan C(1, 0 ,7). Jika AB mewakili vektor u, AC mewakili vektor v, maka proyeksi vektor u pada v merupakan ….
    1. 3i – 6/5j + 12/5k
    2. 3√5i – 6/5j + 12/5k
    3. 9/5(√5i – 2j + 4k)
    4. 17/45(√5i – 2j + 4k)
    5. 9/55(√5i – 2j + 4k)
    Pembahasan :
    Kordinat A, B, dan C sanggup kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :

    A = -4  , B = 7  dan C = 1
    2 8
    3 -1 7

    AB mewakili vektor u, maka :
    ⇒ u = AB
    ⇒ u = B – A

    ⇒ u = 7  −  -4  =  11
    8 2 6
    -1 3 -4

    AC mewakili vektor v, maka :
    ⇒ v = AC
    ⇒ v = C – A

    ⇒ v = 1  −  -4  =  5
    2 -2
    7 3 4

    Proyeksi vektor u pada v dirumuskan sebagai berikut :

    Proyeksi u pada v = u . v  . v
    |v|2
    Berdasarkan rumus di atas, kita sanggup mencari u.v terlebih dahulu.

    ⇒ u.v = 11  .  5  = 55 – 12 – 16 = 27 
    6 -2
    -4 4

    Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor v :
    ⇒ |v|2 = (√52 + (-2)2 + 42)2
    ⇒ |v|2 = (√45)2
    ⇒ |v|2 = 45

    Langkah terakhir kita tentukan proyeksi u pada v sebagai berikut :

    ⇒ Proyeksi u pada v = u . v  . v
    |v|2

    ⇒ Proyeksi u pada v = (27/45) 5
    -2
    4

    ⇒ Proyeksi u pada v = 3/5 5
    -2
    4

    ⇒ Proyeksi u pada v =  3
    -6/5
    12/5

    Kaprikornus proyeksi vektor u pada v merupakan 3i – 6/5j + 12/5k.

    Jawaban : A
    Untuk pembahasan lebih lanjut perihal proyeksi vektor, kau sanggup membaca pembahasan pola soal perihal proyeksi skalar orthogonal dan peroyeksi vektor orthogonal melalui link di bawah ini.

    Read more : Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor.

  1. Diketahui vektor a = [-2 3 4] dan b = [x 0 3]. Jika panjang proyeksi vektor a pada b merupakan 4/5, maka salah satu nilai x yang memenuhi merupakan …
    A. 6 D. -4
    B. 4 E. -6
    C. 2
    Pembahasan :
    Panjang proyeksi vektor a pada b sanggup dirumuskan sebagai berikut :

    Panjang Proyeksi a pd b = a . b
    |b|

    Dari soal diketahui panjang proyeksi vektor a pada b merupakan 4/5, maka :

    ⇒ 4/5 = a . b
    |b|
    ⇒ 4/5 = [-2 3 4] . [x 0 3]
    √(x2 + 02 + 32)
    ⇒ 4/5 = -2x + 0 + 12
    √(x2 + 9)

    ⇒ 5(-2x + 12) = 4(√(x2 + 9))
    ⇒ -10x + 60 = 4√(x2 + 9)
    ⇒ (-10x + 60)2 = {4√(x2 + 9)}2

    ⇒ 100x2 + 1200x + 3600 = 16(x2 + 9)
    ⇒ 100x2 + 1200x + 3600 = 16x2 + 144
    ⇒ 84x2 + 1200x + 3456 = 0
    ⇒ 7x2 + 100x + 288 = 0
    ⇒ (7x – 72)(x – 4) = 0
    ⇒ x = 72/7 atau x = 4

    Jawaban : B

  1. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB pada AC merupakan ….
    1. j + k
    2. i + j
    3. -i + j
    4. i + j ½k
    5. -½i – j
    Pembahasan :
    Kordinat A, B, dan C sanggup kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :

    A = 0  , B = 2  dan C = 0
    2 2
    0 0 2

    Vektor AB :
    ⇒ AB = B – A

    ⇒ AB = 2  −  0  =  2
    2 2
    0 0 0

    Vektor AC :
    ⇒ AC = C – A

    ⇒ AC = 0  −  0  =  0
    2 2
    2 0 2

    Secara umum proyeksi vektor a ke vektor b sanggup dirumuskan menyerupai gambar di bawah ini. Pada rumus tersebut, c merupakan vektor proyeksi a pada b.

     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika perihal vektor Pembahasan Soal Ujian Nasional Proyeksi Vektor

     
    Sesuai dengan rumus di atas, apabila kita msialkan proyeksi vektor AB pada AC dengan D, maka proyeksi tersebut sanggup dirumuskan sebagai berikut :

    D = AB . AC  . AC
    |AC|2

    Berdasarkan rumus di atas, kita sanggup mencari AB.AC terlebih dahulu.

    ⇒ AB.AC = 2  .  0  = 0 + 4 + 0 = 4 
    2 2
    0 2

    Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor AC :
    ⇒ |AC|2 = (√02 + 22 + 22)2
    ⇒ |AC|2 = (√8)2
    ⇒ |AC|2 = 8

    Langkah terakhir kita tentukan proyeksi AB pada AC sebagai berikut :

    ⇒ D = AB . AC  . AC
    |AC|2

    ⇒ D = (4/8) 0
    2
    2

    ⇒ D = 1/2 0
    2
    2

    ⇒ D =  0
    1
    1

    Kaprikornus proyeksi vektor AB pada AC merupakan j + k.

    Jawaban : A

    Simak pembahasan perihal persobat semua vektor untuk melihat perbedaan antara persobat semua titik dan persobat semua silang pada vektor. Pada link di bawah ini, dibahas sedikit pola perihal persobat semua titik dua vektor.

    Read more : Contoh Soal dan Pembahasan Persobat semua Titik Vektor.

  1. Diketahui vektor a = 3i – 4j – 4k, b = 2i – j + 3k, dan c = 4i – 3j + 5k. Panjang proyeksi vektor (a + b) pada c merupakan ….
    A. 3√2 D. 6√2
    B. 4√2 E. 7√2
    C. 5√2
    Pembahasan :
    Vektor a, b, dan c sanggup kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :

    a = 3  , b = 2  dan c = 4
    -4 -1 -3
    -4 3 5

    Vektor (a + b) :
    ⇒ (a+b) = a + b

    ⇒ (a+b) = 3  +  2  =  5
    -4 -1 -5
    -4 3 -1

    Jika kita misalkan proyeksi vektor (a+b) ke c merupakan d, maka panjang proyeksi vektor (a+b) ke c sanggup dirumuskan :

    |d| = (a+b) . c
    |c|

    Sebelumnya kita cari (a+b).c terlebih dahulu.

    ⇒ (a+b) . c = 5  .  4  = 20 + 15 – 5 = 30 
    -5 -3
    -1 5

    Selanjutnya kita cari besar vektor c :
    ⇒ |c| = √(42 + -32 + 52)
    ⇒ |c| = √50
    ⇒ |c| = 5√2

    Dengan demikian panjang proyeksi vektor (a+b) pada c merupakan :

    ⇒ |d| = (a+b) . c
    |c|
    ⇒ |d| = 30
    5√2

    ⇒ |d| = 3√2

    Jawaban : A

  1. Diberikan vektor a, b, dan c sebagai berikut :

    a = 1  , b = 2  dan c = 0
    1 2√2 q
    √2 p √2

    Jika panjang proyeksi vektor b pada a merupakan 1 dan vektor b tegak lurus dengan vektor c, maka nilai p + q merupakan …

    A. -2 D. 1
    B. -1 E. 2
    C. 0
    Pembahasan :
    Panjang proyeksi vektor b pada a sama dengan 1, maka :

    ⇒ 1 = b . a
    |a|
    ⇒ 1 = 2 + 2√2 + p√2
    √(12 + 12 + (√2)2)

    ⇒ 2 = 2 + 2√2 + p√2
    ⇒ 2 – 2 – 2√2 = p√2
    ⇒ -2√2 = p√2
    ⇒ p = -2

    Vektor b tegak lurus dengan vektor c, maka :
    ⇒ b . c = 0

    ⇒  2  .  0  = 0 
    2√2 q
    -2 √2
    ⇒ 0 + 2q√2 – 2√2 = 0
    ⇒ 2q√2 = 2√2
    ⇒ q = 1

    Dengan demikian  p +  q = -2 + 1 = -1.

    Jawaban : B

Baca Juga:   Pembahasan Soal Ujian Nasional Persamaan Kuadrat

You may also like