Home PEMBAHASAN UN MATEMATIKA Pembahasan Soal Ujian Nasional Logaritma

Pembahasan Soal Ujian Nasional Logaritma

by CerdaskanKita
Model soal logaritma yang kerap muncul dalam ujian nasional matematika :
  1. Menentukan hasil suatu logaritma menurut nilai logaritma yang diketahui.
  2. Menentukan nilai koefisien yang memenuhi persamaan logaritma.
  3. Soal aplikasi memilih akar persamaan kuadrat yang melibatkan logaritma.
  4. Soal aplikasi memilih himpunan penyelesaian pertaksamaan logaritma
Kumpulan soal
  1. (UAN 2005/2006)
    Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x merupakan …
    A. 2log 3
    B. 3log 2
    C. log 2/3
    D. -1 atau 3
    E. 3 atau 1/2

    Pembahasan :
    Ingat kembali sifat logaritma :

    alog b = alog c —> maka b = c

    2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
    2log 2log (2x+1 + 3) = 2log2 + 2log x
    2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x
    2log (2x+1 + 3) = 2x
    2log (2x+1 + 3) = 2log 22x
    ⇒ 2x+1 + 3 = 22x
    ⇒ 2x+1 + 3 – 22x = 0
    ⇒ 2x.21 + 3 – 22x = 0 —> ubah menjadi persamaan kuadrat
    ⇒ (2x)2 – 2(2x) – 3 = 0

    misal 2x = a, maka persamaan menjadi :
    ⇒ a2 – 2a – 3 = 0
    ⇒ (a + 1)(a – 3) = 0
    ⇒ a = -1 atau a = 3

    Selanjutnya,
    untuk a = -1
    ⇒ 2x = -1 —> tak ada nilai x yang memenuhi

    untuk a = 3
    ⇒ 2x = 3
    ⇒ x = 2log 3 (opsi A)

  2. (UAN 2005/2006)
    Penyelesaian pertaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) merupakan …
    A. x > 6
    B. x > 8
    C. 4 < x < 6
    D. -8 < x < 6
    E. 6 < x < 8

    Pembahasan :
    Ingat kembali sifat logaritma :

    alog b + alog c = alog bc

    alog b – alog c = alog b/c

    Dengan memakai rumus tersebut :
    ⇒ log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)
    ⇒ log (x – 4)(x + 8) < log (2x + 16)
    ⇒ log (x – 4)(x + 8) – log (2x + 16) < 0
    ⇒ log {(x – 4)(x + 8)} / (2x + 16) < 0
    ⇒ log {(x – 4)(x + 8)} / 2(x + 8) < 0
    ⇒ log (x – 4) / 2 < 0

    Syarat :
    ⇒ biar log (x – 4) / 2 < 0 maka x > 4
    ⇒ log (x – 4) / 2 < 0
    log (x – 4) / 2 < log 1
    ⇒ (x – 4) / 2 < 1
    ⇒ x – 4 < 2
    ⇒ x < 6
    Kaprikornus penyelesaiannya merupakan 4 < x < 6 (opsi C)

  3. (UAN 2006/2007)
    Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = …
    A. 2/a
    B. (2 + ab)/ a(1 + b)
    C. a/2
    D. (b + 1)/ (2ab + 1)
    E. (a + b)/ (2 + ab)

    Pembahasan :
    Ingat kembali sifat logaritma :

    alog b = xlog b / xlog a  ; dengan x> 0 dan x ≠ 1

    alog bx = x alog b

    Karena yang diketahui merupakan nilai 2log 3 dan 3log 5 maka ubahlah 15log20 ke dalam bentuk logaritma yang mempunyai kandungan kedua logaritma tersebut.

    15log 20 = 3log 20 / 3log 15
    15log 20 = 3log (4.5) / 3log (3.5)
    15log 20 = 3log (22.5) / 3log (3.5)
    15log 20 = (3log 22 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)
    15log 20 = (2 3log 2 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)

    Ingat kembali sifat logaritma :

    alog b = 1/ (blog a)

    Karena 3log 2 = 1/ (2log 3) = 1/a, maka :
    15log 20 = {2.(1/a) + b}/ (1 + b)
    15log 20 = {(2 + ab)/ a}/ (1 + b)
    15log 20 = (2 + ab)/ a(1 + b) —> opsi B

  4. (UAN 2007/2008)
    Dikatahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 merupakan …
    A. a/ (a + b)
    B. (1 + a)/ (1 + b)
    C. (a + 1)/ (a + b)
    D. a/ a(a + b)
    E. (a + 1)/ a(a + b)

    Pembahasan :
    6log 14 = (2log 14)/ (2log 6)
    6log 14 = (2log 7.2)/ (2log 3.2)
    6log 14 = (2log 7 + 2log 2)/ (2log 3 + 2log 2)
    6log 14 = (2log 7 + 1)/ (2log 3 + 1)
    6log 14 = (a + 1)/ (b + 1)
    6log 14 = (1 + a)/ (1 + b) —> opsi C

  5. (UAN 2008/2009)
    Diketahui 2log √(12x + 4) = 3. Nilai 3x merupakan …
    A. 15
    B. 5
    C. 5/3
    D. 3/5
    E. 1/5

    Pembahasan :
    2log √12x + 4 = 3
    2log12x + 4 = 2log 23
    ⇒ √12x + 4 = 23
    ⇒ (√12x + 4)2 = (23)2
    ⇒ 12x + 4 = 26
    ⇒ 12x + 4 = 64
    ⇒ 12x = 60
    ⇒ x = 5
    Kaprikornus nilai 3x = 3.5 = 15 (opsi A)

  6. (UAN 2009/2010)
    Nilai dari (3log √6) / {(3log 18) – (3log 2)} merupakan …
    A. 1/8
    B. 1/2
    C. 1
    D. 2
    E. 8

    Pembahasan :
    (3log √6) / {(3log 18)2 – (3log 2)2} = (3log 6 ½) / {(3log 9.2)2 – (3log 2)2}
      = (½ 3log 6) / {(3log 9 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
      = (½ 3log 3.2) / {(3log 32 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
      = {½ (3log 3 + 3log 2)} / {(2 3log 3 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
      = {½ (1 + 3log 2)} / {(2 + 3log 2)2 – (3log 2)2}
      = {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 22 ) – (3log 2)2}
      = {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 223log 22}
      = {½ (1 + 3log 2)} / (4 + 4 3log 2)
      = {½ (1 + 3log 2)} / {4 (1 +  3log 2)}
      =  ½ / 4
      = 1/8 —> opsi A.

  7. (UAN 2010/2011)
    Nilai x yang memenuhi persamaan ½log (x2 – 3) – ½log x = -1 merupakan …
    A. x = -1 atau x = 3
    B. x = 1 atau x = -3
    C. x = 1 atau x = 3
    D. x = 1
    E. x = 3

    Pembahasan :
    ½log (x2 – 3) – ½log x = -1

    ½log {(x2 – 3)/ x} = ½log (½)-1
    ⇒ (x2 – 3)/ x = (½)-1
    ⇒ (x2 – 3)/ x = 2
    ⇒ x2 – 3 = 2x
    ⇒ x2 – 3 – 2x = 0
    ⇒ x2 – 2x – 3 = 0
    ⇒ (x + 1)(x – 3) = 0
    ⇒ x = -1 atau x = 3

    Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :

    an = b ⇔ n = alog b  ; b > 0

    Karena b harus lebih besar dari nol, maka x = -1 tak berlaku alasannya ialah akan menyebabkan b bernilai negatif. Kaprikornus nilai x yang memenuhi persamaan itu merupakan 3 —> opsi E.

  8. (UAN 2011/2012)
    Diketahui 5log 3 = a dan 3log 4 = b. Nilai 4log 15 merupakan …
    A. (1 + a)/ ab
    B. (1 + a)/ (1 + b)
    C. (1 + b)/ (1 – a)
    D. ab/ (1 – a)
    E. ab/ (1 – b)

    Pembahasan :
    4log 15 = (3log 15)/ 3log 4
    4log 15 = (3log 3.5)/ 3log 4
    4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4

    Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :

     alog b  = 1/ blog a

    Karena 3log 5 = 1/ 5log 3 = 1/a, maka diperoleh :
    4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4
    4log 15 = (1 + 1/a)/ b
    4log 15 = {(a + 1)/ a}/ b
    4log 15 = (a + 1)/ ab
    4log 15 = (1 + a)/ ab —> opsi A.

  9. (UAN 2012/2013)
    Diketahui 2log 5 = p dan 5log 3 = b. Nilai 3log 10 dinyatakan dalam p dan q merupakan …
    A. (p + 1)/ q
    B. (p + 1)/ pq
    C. (q + 1)/ p
    D. (q + 1)/ pq
    E. (pq + 1)/ q

    Pembahasan :
    3log 10 = (5log 10)/ 5log 3
    3log 10 = (5log 2.5)/ 5log 3
    3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3

    Karena  5log 2 = 1/ 2log 5 = 1/p, maka diperoleh :
    3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3
    3log 10 = (1/p + 1)/ q
    3log 10 = {(1 + p)/ p}/ q
    3log 10 = (1 + p)/ pq
    3log 10 = (p + 1)/ pq —>  opsi B.

Baca Juga:   Pembahasan Soal Ujian Nasional Kebijaksanaan Matematika

You may also like