Pembahasan Soal Ujian Nasional Lingkaran

Ujian Nasional Matematika – Lingkaran. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana lingkaran. Biasanya, ada dua soal wacana persamaan bulat yang keluar dalam ujian nasional. Dari sedikit soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal bulat yang paling kerap muncul merupakan memilih persamaan garis singgung lingkaran, memilih persamaan lingaran apabila diketahui sentra dan titik yang dilaluinya, dan memilih persamaan garis singgung yang melalaui titi potong antara bulat dan garis.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Lingkaran

1. Salah satu persamaan garis singgung pada bulat (x – 2)² + (y + 1)² = 13 di titik yang berabsis -1 merupakan ….

   3x – 2y – 3 = 0 3x – 2y – 5  0 3x + 2x – 9 = 0 3x + 2y + 9 = 0 3x + 2x + 5 = 0

   Pembahasan :
   Pada soal diketahui bahwa garis menyinggung bulat di titik berabsis -1, itu artinya x = -1.

   Langkah pertama yang sanggup kita lakukan merupakan mensubstitusikan nilai x = -1 ke persamaan lingkarannya untuk memperoleh nilai y dan koordinat titik singgungnya.
   ⇒ (x − 2)² + (y + 1)² = 13
   ⇒ (-1 − 2)² + (y + 1)² = 13
   ⇒ (-3)² + (y + 1)² − 13 = 0
   ⇒ 9 + y² + 2y + 1 − 13 = 0
   ⇒ y² + 2y − 3 = 0
   ⇒ (y + 3)(y – 1) = 0
   ⇒ y = -3 atau y = 1
   Kaprikornus titik singgungnya merupakan (-1,-3) dan (-1,1).

   Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk umum x² + y² + 2ax + 2by + c = 0, sebagai berikut :
   ⇒ (x − 2)² + (y + 1)² = 13
   ⇒ x² − 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 13
   ⇒ x² + y² − 4x + 2y − 8 = 0
   Dik : a = ½(-4) = -2, b = ½(2) = 1, c = -8

   Persamaan garis singgung bulat untuk x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 sanggup ditentukan dengan rumus :

   x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

   Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
   Untuk titik (-1,-3) substitusi x1 = -1 dan y1 = -3 :
   ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
   ⇒ (-1)x + (-3)y + (-2)(-1 + x) + (1)(-3 + y) + (-8) = 0
   ⇒ -x − 3y + 2 − 2x − 3 + y − 8 = 0
   ⇒ -3x − 2y − 9 = 0
   ⇒ 3x + 2y + 9 = 0 

   Untuk titik (-1,1) substitusi x1 = -1 dan y1 = 1
   ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
   ⇒ (-1)x + (1)y + (-2)(-1 + x) + (1)(1 + y) + (-8) = 0
   ⇒ -x + y + 2 − 2x +  1 + y − 8 = 0
   ⇒ -3x + 2y − 5 = 0 

   Dari kedua persamaan di atas, yang ada pada opsi balasan merupakan 3x + 2y + 9 = 0.

   Jawaban : D

2. Persamaan garis singgung malalui titik A(-2,-1) pada bulat x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0 merupakan ….

   -2x – y – 5 = 0 x – y + 1 = 0 x + 2y + 4 = 0 3x – 2y + 4 = 0 2x – y + 3 = 0

   Pembahasan :
   Cara I :
   Sebagai langkah awal, kita ubah persamaan bulat ke bentuk (x – a)² + (y – b)² = r². Untuk mengubahnya kita sanggup memanfaatkan konsep menyempurnakan kuadrat.
   ⇒ x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
   ⇒ (x² + 12x + 36 – 36) + (y² – 6y + 9 – 9) + 13 = 0
   ⇒ (x² + 12x + 36) + (y² – 6y + 9) – 36 – 9 + 13 = 0
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² – 36 – 9 + 13 = 0
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² – 32 = 0
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² = 32

   Selanjutnya kita tentukan persamaan garis singgungnya. Karena garis melalui titik A(-2,-1), maka substitusikan x1 = -2, dan y1 = -1 ke persamaan berikut :.
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² = 32
   ⇒ (x + 6)(x1 + 6) + (y -3)(y1 – 3) = 32
   ⇒ (x + 6)(-2 + 6) + (y -3)(-1 – 3) = 32

   ⇒ (x + 6)(4) + (y -3)(-4) = 32
   ⇒ 4x + 24 – 4y + 12 = 32
   ⇒ 4x – 4y + 36 – 32 = 0
   ⇒ 4x – 4y + 4 = 0
   ⇒ x – y + 1 = 0

   Cara II :
   Dari x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
   Dik : a = ½(12) = 6, b = ½(-6) = -3, c = 13

   Persamaan garis singgung bulat untuk x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 sanggup ditentukan dengan rumus :

   x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

   Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
   Untuk titik (-2,-1) substitusi x1 = -2 dan y1 = -1 :
   ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
   ⇒ (-2)x + (-1)y + (6)(-2 + x) + (-3)(-1 + y) + 13 = 0
   ⇒ -2x − y − 12 + 6x + 3 − 3y + 13 = 0
   ⇒ 4x − 4y + 4 = 0
   ⇒ x − 2y + 1 = 0 

   Jawaban : B

3. Persamaan bulat yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 serta menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif merupakan …

   x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0 x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0 x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0 x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 x2 + y2 – 2x – 2y + 4 = 0

   Pembahasan :
   Karena menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, berarti lingaran berada di kuadran III.

   

   Jika kita misalkan sentra bulat merupakan (-a, -b), maka berlaku :
   r = |-a| = a
   r = |-b| = b
   Dengan demikian a = b.

   Dari soal, diketahui bahwa sentra bulat (-a,-b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, maka substitusikanlah x = -a dan y = -b ke persamaan tersebut.
   ⇒ 2x – 4y – 4 = 0
   ⇒ 2(-a) – 4(-b) – 4 = 0
   ⇒ -2a + 4b – 4 = 0
   ⇒ -2a + 4b = 4

   Karena a = b, maka :
   ⇒ -2a + 4a = 4
   ⇒ 2a = 4
   ⇒ a = 2

   Karena a = 2, maka b = 2 dengan demikian kita peroleh titik sentra (-2,-2) dan jari-jari bulat r = |-2| = 2.

   Persamaan bulat yang diketahui sentra (a,b) dan jari-jari (r) sanggup ditentukan memakai rumus berikut :

   (x – a)2 + (y – b)2 = r2

   Berdasarkan rumus tersebut, maka kita peroleh persamaan bulat :
   ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r²
   ⇒ (x – (-2))² + (y – (-2))² = 2²
   ⇒ (x + 2)² + (y + 2)² = 2²
   ⇒ x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 4
   ⇒ x² + y² + 4x + 4y + 8 – 4 = 0
   ⇒ x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

   Jawaban : A

4. Lingaran L = (x + 1)² + (y – 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung bulat yang melalui titik potong antara bulat dan garis tersebut merupakan …

   x = 2 dan x = -4 x = 2 dan x = -2 x = -2 dan x = 4 x = -2 dan x = -4 x = 8 dan x = -10

   Pembahasan :
   Langkah awal kita substitusikan nilai y = 3 ke persamaan bulat untuk mengetahui titik potongnya :
   ⇒ (x + 1)² + (y – 3)² = 9
   ⇒ (x + 1)² + (3 – 3)² = 9
   ⇒ (x + 1)² = 9
   ⇒ x + 1 = ±3
   ⇒ x = 3 – 1 = 2 atau x = -3 – 1 = -4
   Kaprikornus titik potongnya (2,3) dan (-4,3)

   Selanjutnya, untuk mengetahui garis singgungnya, kita substitusikan titik yang sudah kita peroleh ke persamaan berikut :

   (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2

   Nilai a, b dan r kita peroleh dari persamaan lingkarannya.
   Dari  (x + 1)² + (y – 3)² = 9
   Dik a = -1, b = 3 dan r = 3

   Karena ada dua titik, maka garis singgungnya kita lihat menurut kedua titik tersebut.
   Untuk (2,3), substitusix1 = 2 dan y1 = 3
   ⇒ (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r²
   ⇒ (x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
   ⇒ 3x + 3 = 9
   ⇒ 3x = 9 – 3
   ⇒ 3x = 6
   ⇒ x = 2

   Untuk (-4,3), substitusi x1 = -4 dan y1 = 3 :
   ⇒ (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r²
   ⇒ (x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
   ⇒ -3x – 3 = 9
   ⇒ -3x = 9 + 3
   ⇒ -3x = 12
   ⇒ x = -4

   Jadi, Garis singgung bulat yang melalui titik potong antara bulat dan garis tersebut merupakan merupakan x = 2 dan x = -4.
   Jawaban : A

5. Persamaan bulat yang melalui titik (5,-1) dan berpusat di titik (2,3)merupakan ….

   x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y – 13 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y – 24 = 0 x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0 x2 + y2 – 4x + 6y + 25 = 0

   Pembahasan :
   Persamaan umum bulat apabila diketahui sentra (a,b) dan jari-jari r merupakan :

   (x – a)2 + (y – b)2 = r2

   Dari soal kita ketahui a = 2, b = 3

   Karena melalui titik (5,-1), maka substitusikan x = 5 dan y = -1 untuk memperoleh jari-jari bulat :
   ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r²
   ⇒ (5 – 2)² + (-1 – 3)² = r²
   ⇒ 9 + 16 = r²
   ⇒ 25 = r²
   ⇒ r = 5

   Karen jari-jari dan sentra sudah diketahui, maka persamaan lingkarannya merupakan :
   ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r²
   ⇒ (x – 2)² + (y – 3)² = 5²
   ⇒ x² -4x + 4 + y² -6y + 9 = 25
   ⇒ x² + y² -4x -6y + 13 – 25 = 0
   ⇒ x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

   Jawaban : A