Home PEMBAHASAN UN MATEMATIKA Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

by CerdaskanKita

Ujian Nasional Matematika – Dimensi Tiga. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga atau berdiri ruang. Biasanya, ada dua soal wacana berdiri ruang yang keluar dalam ujian nasional.

Dari sedikit soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal dimensi tiga yang paling kerap muncul merupakan memilih jarak antara titik ke bidang pada kubus, memilih jarak titik ke garis, memilih jarak antar bidang dalam suatu berdiri ruang, dan memilih besar sudut yang dibuat oleh dua garis atau bidang.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

  1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC merupakan …
    1. 8√3 cm
    2. 8√2 cm
    3. 4√6 cm
    4. 4√3 cm
    5. 4√2 cm
    Pembahasan :
    Untuk membantu menuntaskan soal di atas, ada baiknya apabila kita menggambar sebuah kubus sebagai acuan. Berikut ilustrasi untuk kubus ABCD.EFGH :

    Dari gambar di bawah, sanggup dilihat bahwa jarak titik H dan garis AC kita misalkan HO. Selanjutnya perhatikan segitga DOH (daerah yang diwarnai pada gambar).

     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga at Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Segitiga DOH merupakan segitigu siku-siku dengan siku berada di titik D. Panjang garis DH diketahui 8 cm, lagikan panjang garis DO merupakan setengah dari panjang garis DB.

    Ingat bahwa pada kubus, pajang diagonal bidang dan diagonal sisinya merupakan :

    Diagonal ruang = panjang rusuk√3
    Diagonal sisi = panjang rusuk√2

    Karena DB merupakan diagonal bidang, maka panjang garis DO merupakan :
    ⇒ DO = ½DB
    ⇒ DO = ½ (8√2)
    ⇒ DO = 4√2 cm

    Nah, kini dari segitiga DOH sudah diketahui dua sisinya, dengan demikian panjang garis HO sanggup kita cari dengan memanfaatkan dalil phytagoras sebagai berikut :
    ⇒ HO = √DH2 + DO2
    ⇒ HO = √82 + (4√2)2
    ⇒ HO = √64 + 32
    ⇒ HO = √96
    ⇒ HO = √16 x 6
    ⇒ HO = 4√6 cm
    Jadi, jarak titik H ke garis AC merupakan 4√6 cm.

    Jawaban : C

  1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang ganjal ABCD merupakan α, maka sin α merupakan …
    1. ½√3
    2. ½√2
    3. ⅓√3
    4. ½
    5. ⅓√2
    Pembahasan :
    Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!

     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga at Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    AG merupakan diagonal ruang. Bidang ganjal ABCD sanggup diwakili dengan diagonal sisi AC. Sudut antara AG dan AC merupakan α menyerupai terlihat pada gambar di atas.

    Selanjutnya perhatikan segitiga AGC. Jika kita lihat, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik c. Panjang CG sama dengan panjang rusuk adalah 6 cm.

    Karena AG merupakan diagonal ruang dan AC merupakan diagonal sisi, maka panjang masing-masing diagonal tersebut merupakan :
    ⇒ AG = panjang rusuk√3 = 6√3 cm
    ⇒ AC = panjang rusuk√2 = 2√2 cm

    Dengan memakai konsep trigonometri, maka berlaku :

    ⇒ sin α = sisi depan
    sisi miring
    ⇒ sin α = CG
    AG
    ⇒ sin α = 6
    6√3

    ⇒ sin α = ⅓√3

    Jawaban : C

  1. Perhatikan gambar kubus di bawah ini!
     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga at Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga
    Jarak bidang ACH dan EGB merupakan …

    1. 4√3 cm
    2. 2√3 cm
    3. 4 cm
    4. 6 cm
    5. 12 cm
    Pembahasan :
    Berikut digambarkan bidang ACH dan EGB. Pada gambar, jarak antara ACH dan EGB sanggup diwakilkan oleh garis PQ.

     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga at Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Dari gambar di atas, coba perhatikan bidang BOHP. Bidang BOHP merupakan jajargenjang dengan ganjal HO dan tinggi PQ. Jadi, kita sanggup memilih jarak antara ACH dan EGB dengan mencari tahu tinggi PQ.

    Untuk mengetahui tinggi PQ, maka kita harus tahu dahulu luas jajargenjang dan panjang alasnya adalah panjang HO.

    Untuk mengetahu panjang HO, perhatikan segitiga HDO. Dari segitiga HDO diketahui DH = 6√3 cm. Panjang DO merupakan setengah dari panjang DB :
    ⇒ DO = ½DB
    ⇒ DO = ½ (6√3.√2)
    ⇒ DO = ½ (6√6)
    ⇒ DO = 3√6 cm

    Dengan demikian panjang HO merupakan :
    ⇒ HO = √DH2 + DO2
    ⇒ HO = √(6√3)2 + (3√6)2
    ⇒ HO = √108 + 54
    ⇒ HO = √162
    ⇒ HO = √81 x 2
    ⇒ HO = 9√2 cm

    Selanjutnya perhatikan bidang BDHF. Bidang BDHF terdiri dari segitiga ODH, segitiga BFP dan jajargenjang BOHP. Dengan demikian berlaku : 
    ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF – luas ODH – luas BFP

    Karena luas segitiga ODH sama dengan luas segitiga BFP, maka :
    ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF – 2 luas ODH
    ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) – 2(½ DO x DH)
    ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) – (DO x DH)
    ⇒ Luas BOHP = DH (DB – DO)
    ⇒ Luas BOHP = 6√3(6√6 – 3√6)
    ⇒ Luas BOHP = 6√3(3√6)
    ⇒ Luas BOHP = 18√18
    ⇒ Luas BOHP = 54√2 cm

    Nah, kini kita sudah sanggup menghitung tinggi jajargenjangnya, adalah :
    ⇒ Luas BOHP = 54√2
    ⇒ ganjal x tinggi = 54√2
    ⇒ HO x PQ = 54√2
    ⇒ 9√2 PQ = 54√2
    ⇒ PQ = 6 cm
    Jadi, jarak antara bidang ACH dan EGB merupakan 6 cm.

    Jawaban : D

  1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibuat oleh garis BG dengan bidang BDHF merupakan ….
    1. 90o
    2. 60o
    3. 45o
    4. 30o
    5. 15o
    Pembahasan :
    Perhatikan gambar di bawah ini!

     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga at Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Pada gambar di atas, titik P merupakan proyeksi titik G pada bidang BDHF dan garis PB  merupakan proyeksi garis GB pada bidang BDHF.

    Dengan demikian, sudut antara BG dan BDHF akan sama dengan sudut antara GB dan PB. Dalam gambar sudut tersebut dimisalkan θ.

    Selanjutnya perhatikan segitiga GPB. Segitiga GPB merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik P. Sesuai dengan konsep trigonometri, maka berlaku :

    ⇒ sin θ = sisi depan
    sisi miring
    ⇒ sin θ = GP
    GB
    ⇒ sin θ = ½ diagonal sisi GE
    panjang rusuk√2
    ⇒ sin θ = ½ (panjang rusuk √2)
    panjang rusuk√2

    ⇒ sin θ = ½
    ⇒ θ = 30o

    Jawaban : D

  1. Balok ABDC.EFGH dengan panjang AB = BC = 3cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sesampai lalu AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sesampai lalu FQ : QG = 2 : 1. Jika α merupakan sudut antar PQ dan ABCD, maka tan α merupakan …
    1. ½√5
    2. 1/10 √5
    3. ½√10
    4. 1/7 √14
    5. 1/7 √35
    Pembahasan :
    Perhatikan gambar di bawah ini !

     akan dibahas sedikit soal ujian nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga at Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Dari segitiga POT. Dari segitiga POT diperoleh panjang PT sebagai berikut :
    ⇒ PT = √PO2 + OT2
    ⇒ PT = √32 + 12
    ⇒ PT = √9 + 1
    ⇒ PT = √10 cm

    Perhatikan segitiga PTQ. Dengan konsep trigonometri :

    ⇒ tan α = sisi depan
    sisi samping
    ⇒ tan α = QT
    PT
    ⇒ tan α = 5
    10

    ⇒ tan α = ½√10.

    Jawaban : C

Baca Juga:   Pembahasan Soal Ujian Nasional Turunan Fungsi

You may also like