Pembahasan Soal Ujian Nasional Deret Aritmatika Dan Geometri

Model soal barisan dan deret yang kerap muncul dalam soal ujian nasional antara lain: memilih suku ke-n dari suatu barisan atau deret  aritmatika berdasarkan suku ke-n lainnya, memilih suku ke-n dari suatu barisan atau deret  geometri berdasarkan suku ke-n lainnya, memilih jumlah ke-n dari barisan atau deret aritmatika apabila diketahui sedikit suku ke-n, memilih jumlah ke-n dari barisa atau deret geometri apabila diketahui sedikit suku ke-n, memilih rasio suatu barisan geometri apabila yang diketahui merupakan suku ke-n barisan aritmatika, memilih rasio barisan geometri, memilih suku ke-n suatu barisan aritmatika apabila suku tengah diketahui, dan lain sebagainya.

Ujian Nasional Matematika – Barisan dan Deret

1. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
   Seorang Ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya berdasarkan hukum deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin kaya permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen merupakan …
   A. 60 buah
   B. 65 buah
   C. 79 buah
   D. 75 buah
   E. 80 buah

   Pembahasan :
   Menurut konsep deret aritmatika berlaku :

   Un = a + (n – 1) b

   dengan :
   Un = kayanya suku ke-n
   n = kaya suku
   a = suku pertama
   b = beda

   Dari soal diketahui :
   U2 = a + (2 – 1)b = a + b = 11
   U4 = a + (4 – 1)b = a + 3b = 19

   Dari U2 dan U4, sanggup dicari nilai a dan b sebagi berikut :
   a + b = 11 → a = 11 – b → substitusi ke a + 3b = 19
   ⇒ a + 3b = 19
   ⇒ 11 – b + 3b = 19
   ⇒ 2b = 8
   ⇒ b = 4

   Selanjutnya kita peroleh nilai a.
   a = 11 – b
   ⇒ a = 11 – 4
   ⇒ a = 7

   Untuk menghitung jumlah permen sanggup dipakai rumus berikut :

   $\mathrm{Sn\; = }\frac{n}{2}$

   {2a + (n – 1) b}

   dengan :
   Sn = jumlah ke-n
   n = kaya suku 
   a = suku pertama
   b = beda

   Maka jumlah permen dibagikan kepada kelima anak merupakan :
   ⇒ S5 = 5/2 (2.7 + 4.4)
   ⇒ S5 = 75 buah —> opsi D

2. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
   Diketahui barisan geometri dengan U1 = ⁴√x³ dan U4 = x√x. Rasio barisan geometi tersebut merupakan …
   A. x^{2 4}√x
   B. x²
   C. ⁴√x³
   D. √x
   E. ⁴√x

   Pembahasan :
   Untuk barisan geometri berlaku :

   Un = U1 r^n-1

   dengan :
   Un = suku ke-n
   U1 = suku pertama
   r = rasio
   n = kaya suku

   Berdasarkan konsep itu maka diperoleh :
   U4 = U1 r^4-1
   ⇒ r³ = U4 / U1
   ⇒ r³ = (x√x) / (⁴√x³)
   ⇒ r³ = (x^3/2) / (x^3/4)
   ⇒ r³ = x^{3/2 – 3/4}
   ⇒ r³ = x^3/4
   ⇒ r = (x^3/4)^1/3
   ⇒ r = x^1/4
   ⇒ r = ⁴√x —> opsi E.

3. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga merupakan 36, jumlah suku kelima dan ketujuh merupakan 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut merupakan …
   A. 810
   B. 660
   C. 640
   D. 630
   E. 315

   Pembahasan :
   Dari soal diketahui :
   U3 = 36
   ⇒ a + 2b = 36

   U5 + U7 =144
   ⇒ (a + 4b) + (a + 6b) = 144
   ⇒ 2a + 10b = 144

   Dari kedua persamaan tersebut, nilai a dan b merupakan :
   a + 2b = 36 → a = 36 – 2b → substitusi ke 2a + 10b = 144
   ⇒ 2a + 10b = 144
   ⇒ 2(36 – 2b) + 10b = 144
   ⇒ 72 – 4b + 10b = 144
   ⇒ 6b = 72
   ⇒ b = 12

   Selanjutnya nilai a diperoleh :
   a = 36 – 2b
   ⇒ a = 36 – 2(12)
   ⇒ a = 12

   Maka Jumlah suku ke-10 merupakan :
   S10 = 10/2 {2.12 + (10 – 1) .12}
   ⇒ S10 = 5 {24 + 108}
   ⇒ S10 =660 —> opsi B.

4. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari dan mencatat kayanya jeruk yang diperik. Ternyata kayanya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama merupakan …
   A. 2.000 buah
   B. 1.950 buah
   C. 1.900 buah
   D. 1.875 buah
   E. 1.825 buah

   Pembahasan :
   Berdasarkan Un = 50 + 25n, maka suku pertama merupakan :
   U1 = 50 + 25 = 75
   U10 = 50 + 25(10) = 300

   Maka jumlah jeruk yang dipetik selama 10 hari pertama merupakan :
   S10 = 10/2 (U1 + U10)
   ⇒ S10 = 5 (75 + 300)
   ⇒ S10 = 1.875 buah —> opsi D.

5. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
   Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut merupakan 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut sama dengan …
   A. 100
   B. 110
   C. 140
   D. 160
   E. 180

   Pembahasan :
   U3 = a + 2b = 8
   U6 = a + 5b = 17

   Nilai a dan b sanggup dihitung dengan cara :
   a + 2b = 8 → a = 8 – 2b → substitusi ke a + 5b = 17
   ⇒ a + 5b = 17
   ⇒ 8 – 2b + 5b = 17
   ⇒ 3b = 9
   ⇒b = 3

   Selanjutnya :
   a = 8 – 2b
   ⇒ a = 8 – 2(3)
   ⇒ a = 2

   Maka jumlah delapan suku pertama merupakan :
   S8 = 8/2 {2.2 + (8 – 1) 3}
   ⇒ S8 = 4(4 + 21)
   ⇒ S8 = 100 —> opsi A.

6. (UJIAN NASIONAL 2008/2009)
   Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U3 + U9 + U11 = 75. Suku tengah barisan tersebut merupakan 68 dan kaya sukunya 43, maka U43 sama dengan …
   A. 218
   B. 208
   C. 134
   D. 132
   E. 131

   Pembahasan :
   Karena kaya suku 43 maka suku tengahnya merupakan U22
   U22 = 68
   ⇒ a + 21b = 68

   U3 + U9 + U11 = 75
   ⇒ (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75
   ⇒ 3a + 20b = 75

   Dari dua persamaan di atas diperoleh :
   a + 21b = 68 → a = 68 – 21b → substitusi ke persamaan 3a + 20b = 75
   ⇒ 3a + 20b = 75
   ⇒ 3 (68 – 21b) + 20b = 75
   ⇒ 204 – 63b + 20b = 75
   ⇒ -43b = -129
   ⇒ b = 3

   Selanjutnya cari nilai a.
   a = 68 – 21b
   ⇒ a = 68 – 21(3)
   ⇒ a = 68 – 63
   ⇒ a = 5

   Maka suku ke-43 merupakan :
   U41 = a + 42b
   ⇒ U41 = 5 + 42(3)
   ⇒ U41 = 5 + 126
   ⇒ U41 = 131 —> opsi E

7. (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
   Diketahui barisan aritmatika dengan Un merupakan suku ke-n. Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka U19 sama dengan …
   A. 10
   B. 19
   C. 28,5
   D. 55
   E. 82,5

   Pembahasan :
   U2 = a + b
   U15 = a + 14b
   U40 = a + 39 b

   U2 + U15 + U40 = 165
   ⇒ a + b + a + 14b + a + 39 b = 165
   ⇒ 3a + 54b = 165
   ⇒ a + 18b = 55

   Maka diperoleh :
   U19 = a + 18b
   ⇒ U19 = 55 —> opsi D.

8. (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
   Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1 maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut merupakan …
   A. 4
   B. 2
   C. ½
   D. -½
   E. -2

   Pembahasan :
   U1 = a
   U2 = a + 3
   U3 = a + 2b = a + 6

   Bila U2 dikurangi satu maka terbentuk barisan geometri dengan jumlah 14.
   U1 + (U2 – 1) + U3 = 14
   ⇒ a + (a + 3 – 1) + (a + 6) = 14
   ⇒ 3a + 8 = 14
   ⇒ 3a = 6
   ⇒ a = 2

   Karena a = 2, maka diperoleh :
   ⇒ U1 = 2
   ⇒ U2 = 2 + 3 -1 = 4
   ⇒ U3 = 2 + 6 = 8

   Maka rasio barisan tersebut merupakan :
   r = U2/U1 = U3/U2
   ⇒ r = 4/2 = 8/4
   ⇒ r = 2 —> opsi B

9. (UJIAN NASIONAL 2010/2011)
   Suku ke-4 dan ke-9 dari suatu barisan aritmatika berturut-turut merupakan 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmatika tersebut merupakan …
   A. 308
   B. 318
   C. 326
   D. 344
   E. 354

   Pembahasan :
   U4 = a + 3b = 110
   U9 = a + 8b = 150

   Dari kedua persamaan di atas diperoleh :
   a + 3b = 110 → a = 110 – 3b → substitusi ke persamaan a + 8b = 150
   ⇒ a + 8b = 150
   ⇒ 110 – 3b + 8b = 150
   ⇒ 5b = 40
   ⇒ b = 8

   Selanjutnya nilai a diperoleh :
   a = 110 – 3b
   ⇒ a = 110 – 3(8)
   ⇒ a = 110 – 24
   ⇒ a = 86

   Kaprikornus suku ke-30 dari barisan itu merupakan :
   U30 = a + 29b
   ⇒ U30 = 86 + 29(8)
   ⇒ U30 = 318 —> opsi B

10. (UJIAN NASIONAL 2011/2012)
    Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 2n² + 4n. Suku ke-9 deret tersebut merupakan …
    A. 30
    B. 34
    C. 38
    D. 42
    E. 46

    Pembahasan :
    Dari konsep deret aritmatika :
    S9 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 + U8 + U9
    ⇒ S9 = S8 + U9

    Maka suku ke-9 sanggup ditentukan dengan rumus :
    U9 = S9 – S8
    ⇒ U9 = {2(9)² + 4(9)} – {2(8)² + 4(8)}
    ⇒ U9 = 2 {(81 + 2.9) – (64 + 2.8)
    ⇒ U9 = 2 (81 + 18 – 64 – 16)
    ⇒ U9 = 2 (19)
    ⇒ U9 = 38 —> opsi C.

11. (UJIAN NASIONAL 2012/2013)
    Diketahui suku ke-3 dan ke-8 suatu barisan aritmatika berturut-turut merupakan 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut merupakan …
    A. -580
    B. -490
    C. -440
    D. -410
    E. -380

    Pembahasan :
    U3 = a + 2b = 2
    U8 = a + 7b = -13

    Dari dua persamaan di atas diperoleh :
    a + 2b = 2 → a = 2 – 2b → substitusi ke persamaan a + 7b = -13
    ⇒ a + 7b = -13
    ⇒ 2 – 2b + 7b = -13
    ⇒ 5b = -15
    ⇒ b = -3

    Selanjutnya :
    a = 2 – 2b
    ⇒ a = 2 – 2(-3)
    ⇒ a = 2 + 6
    ⇒ a = 8

    Maka jumlah 20 suku pertama merupakan :
    S20 = 20/2 (2a + (n -1) b)
    ⇒ S20 = 10 (2.8 + 19.(-3))
    ⇒ S20 = 10 (16 – 57)
    ⇒ S20 = 10 (-41)
    ⇒ S20 = -410 —> opsi D

12. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
    Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketingian 2 m dan memantul kembali menjadi 4/5 tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis hingga berhenti merupakan …
    A. 8 m
    B. 16 m
    C. 18 m
    D. 24 m
    E. 32 m

    Pembahasan :
    Panjang lintasan bola tenis yang memantul dengan rasio p/q tersebut sanggup dihitung dengan rumus :

    $\mathrm{S<span\; class="st">\infty </span>\; =\; h }\frac{\mathrm{(q +\; p\; )}}{\mathrm{(q\; -\; p\; )}}$

    dengan :
    h = ketinggian awal
    p/q = rasio

    Dari soal diketahui h = 2 m, p = 4 dan q = 5, maka :

    $\mathrm{S<span\; class="st">\infty </span>\; =\; 2}\frac{\mathrm{(5\; +\; 4)}}{\mathrm{(5\; -\; 4\; )}}$

                 
    ⇒ S∞ = 2 (9)
    ⇒ S∞ = 18 m —> opsi C
    
    
    
    

13. (UJIAN NASIONAL 2013/2014)
    Seutas tali dipotong menjadi 5 bab sesampai lalu panjang tiap-tiap potongan itu membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek merupakan 6 cm dan panjang potongan terpanjang merupakan 96 cm, maka panjang tali semula merupakan …
    A. 96 cm
    B. 185 cm
    C. 186 cm
    D. 191 cm
    E. 192 cm

    Pembahasan :
    n = 5 —> lantaran dipotong menjadi 5 bagian
    u1 = a = 6
    u5 = 96

    Dari dua data tersebut sanggup ditentukan rasionya sebagai berikut :
    u5/u1 = 96/6
    ⇒ a.r⁴ / a = 16
    ⇒ r⁴ = 16
    ⇒ r = ⁴√16
    ⇒ r = 2

    Untuk memilih panjang tali semula sanggup dipakai rumus :

    $\mathrm{S<span\; class="st">n</span>\; =}\frac{\mathrm{a\; (rⁿ\; -\; 1\; )}}{\mathrm{(r\; -\; 1\; )}}$
    dengan :
    Sn = jumlah ke-n
    r = rasio
    a = suku pertama
    n = kaya suku

    Maka :

    $\mathrm{S<span\; class="st">n</span>\; =}\frac{\mathrm{6\; (2⁵\; -\; 1\; )}}{\mathrm{(2\; -\; 1\; )}}$

    ⇒ S5 = 6 (32 – 1)
    ⇒ S5 = 6 (31)
    ⇒ S5 = 186 cm —> opsi C.