- Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – n = 0, maka nilai n merupakan ….
A. 8 D. -8 B. 6 E. -10 C. -2
Pembahasan :
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x + n = 0 merupakan p dan q, lagikan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – n = 0 merupakan u dan v.Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika sanggup kita tulis sebagai berikut :
⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
⇒ p2 + q2 = u3 + v3Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!
x2 – 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n
Jumlah akar :
⇒ p + q = -b⁄a
⇒ p + q = 3⁄1
⇒ p + q = 3
Hasil kali akar :
⇒ p.q = c⁄a
⇒ p.q = n⁄1
⇒ p.q = n
Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p2 + q2 = (p + q)2 – 2p.q
⇒ p2 + q2 = (3)2 – 2(n)
⇒ p2 + q2 = 9 – 2n …….(1)
x2 + x – n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n
Jumlah akar :
⇒ u + v = -b⁄a
⇒ u + v = -1⁄1
⇒ u + v = -1
Hasil kali akar :
⇒ u.v = c⁄a
⇒ u.v = -n⁄1
⇒ u.v = -n
Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u3 + v3 = (u + v)3 – 3u.v (u + v)
⇒ u3 + v3 = (-1)3 – 3(-n) (-1)
⇒ u3 + v3 = -1 – 3n …. (2)
Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p2 + q2 = u3 + v3
⇒ 9 – 2n = -1 – 3n
⇒ -2n + 3n = -1 – 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n merupakan -10.
Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup simpel. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, lalu tentukan nilai n menurut prinsip persamaan.
Langkah panjang di atas merupakan upaya kami untuk menterangkan pembahasan soal sedetail cukup supaya gampang dipahami. Jika pembagian terstruktur mengenai rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih bingung, kau sanggup membaca postingan wacana Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk pembagian terstruktur mengenai lebih rinci
- Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :
x2 + x = 2 x2 + x + 1 maka nilai α.β merupakan ……- 2 atau -1
- -2 atau 1
- -2 atau -1
- -2
- -1
Pembahasan :
Kita misalkan x2 + x = p, sesampai lalu persamaannya menjadi :⇒ p = 2 p + 1 ⇒ p(p + 1) = 2
⇒ p2 + p – 2 = 0
⇒ (p + 2)(p – 1) = 0
⇒ p = -2 atau p = 1Sekarang kita kembalikan pemisalan gres saja.
Untuk p = -2
⇒ x2 + x = p
⇒ x2 + x = -2
⇒ x2 + x + 2 = 0Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tak, maka kita cek nilai diskriminannya.
⇒ D = b2 – 4ac
⇒ D = 12 – 4(1)(2)
⇒ D = 1 – 8
⇒ D = -7 < 0Ingat bahwa syarat supaya akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci, kau sanggup baca artikel Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0, maka akar-akarnya tak real dengan begitu nilai p = -2 tak memenuhi.
Untuk p = 1
⇒ x2 + x = p
⇒ x2 + x = 1
⇒ x2 + x – 1 = 0Dengan cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
⇒ D = b2 – 4ac
⇒ D = 12 – 4(1)(-1)
⇒ D = 1 + 4
⇒ D = 5 > 0
Karena D > 0, maka akarnya real.Dengan demikian, persamaan yang memenuhi merupakan x2 + x – 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai berikut :
⇒ α.β = c⁄a
⇒ α.β = -1⁄1
⇒ α.β = -1Jawaban : E
