Pembahasan Sbmptn Matematika Persamaan Logaritma

A. {x| x > 3⁄2}

B. {x| x > 9⁄2}

C. {x| 0 < x < 9⁄2}

D. {x| 3⁄2 < x < 9⁄2}

E. {x| -3 < x < 9⁄2}

Pembahasan :
Syarat biar pertaksamaan di atas terpenuhi merupakan :
⇒ x > 0
⇒2x – 3 > 0

Karena 2x – 3 > 0, maka :
⇒ 2x – 3 > 0
⇒ x > ³⁄₂ (memenuhi)

Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menuntaskan soal ini :

alog b + alog c = alog (b.c)

Selanjutnya, dengan memakai prinsip logaritma, bentuk pertaksamaan di atas sanggup disimpelkan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut :
⇒ ³log x + ³log (2x – 3) < 3
⇒ ³log {x(2x – 3)} < ³log 3³
⇒ ³log {x(2x – 3)} < ³log 27
⇒ x(2x – 3) < 27
⇒ 2x² – 3x < 27
⇒ 2x² – 3x – 27 = 0
⇒ (2x – 9)(x + 3) < 0

Nilai x yang memenuhi pertaksamaan di atas sanggup diuji dengan memakai garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
⇒ -3 < x < ⁹⁄₂

Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi menurut syarat, ialah x > ³⁄₂, maka himpunan penyelesaian pertaksamaan ³log x + ³log (2x – 3) < 3 merupakan :
⇒ HP = {x| ³⁄₂ < x < ⁹⁄₂}

10(x² – x – 12)^{log(x2 – x – 12)} = (x – 4)²(x + 3)²
Jumlah semua akar persamaan tersebut merupakan …..

Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
⇒ 10(x² – x – 12)^{log(x2 – x – 12)} = (x – 4)²(x + 3)²
⇒ log {10.(x² – x – 12)^{log(x2 – x – 12)}} =  log (x – 4)²(x + 3)²

Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
⇒ log 10 + log (x² – x – 12)^{log(x2 – x – 12)} =  log {(x – 4)(x + 3)}²
⇒ 1 + log (x² – x – 12)^{log(x2 – x – 12)} =  log (x² – x – 12)²

Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
⇒ 1 + log (x² – x – 12).log (x² – x – 12) = 2 log (x² – x – 12)
⇒ 1 + {log (x² – x – 12)}² – 2 log (x² – x – 12) = 0
⇒ 1 + log² (x² – x – 12) – 2 log (x² – x – 12) = 0
⇒ log² (x² – x – 12) – 2 log (x² – x – 12) + 1 = 0

Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan :
⇒ log (x² – x – 12) = p

Maka persamaannya menjadi :
⇒ p² – 2p + 1 = 0
⇒ (p – 1)(p – 1) 0
⇒ p₁ = 1 dan p₂ = 1

Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 ialah x₁, x₂, x₃ dan x₄. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk semula :
Untuk p₁ = 1
⇒ log (x² – x – 12) = 1
⇒ log (x² – x – 12) = log 10
⇒ x² – x – 12 = 10
⇒ x² – x – 22 =  0 ; diperoleh x₁ dan x₂.
Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.

Jumlah x₁ dan x₂ :
⇒ x₁ + x₂ =  ^-b⁄_a
⇒ x₁ + x₂ = ¹⁄₁

⇒ x₁ + x₂ = 1

Untuk p₂ = 1, dengan cara yang sama menyerupai di atas, akan diperoleh x₃ dan x₄ dengan jumlah yang sama ialah 1. Dengan demikian, jumlah seluruh akarnya merupakan :
⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1 + 1
⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 2

⇒ x₁ = ½

Untuk p = 1, diperoleh :
⇒ ⁴log x = 1
⇒  ⁴log x = ⁴log 4¹
⇒ ⁴log x = ⁴log 4¹
⇒ x = 4¹

⇒ x₂ = 4

Dengan demikian, jumlah akar-akarnya merupakan :
⇒ x₁ + x₂ = ½ + 4
⇒ x₁ + x₂ = ⁹⁄₂