Home SBMPTN MATEMATIKA Pembahasan Sbmptn Matematika Aplikasi Turunan

Pembahasan Sbmptn Matematika Aplikasi Turunan

by CerdaskanKita
  1. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) merupakan 3√x. Jika kurva tersebut melalui titik (4, 9), maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 merupakan …..
    A. 3x – y – 1 = 0
    B. 3x – y + 4 = 0
    C. 3x – y – 4 = 0
    D. 3x – y + 8 = 0
    E. 3x – y – 8 = 0
    Pembahasan :
    Ingat konsep bahwa persamaan gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi f(x) = y’. Karena pada soal gradiennya sudah diketahui :
    ⇒ m = 3√x
    ⇒ y’ = 3√x

    Fungsi f(x) = y sanggup ditentukan dengan konsep integral :
    ⇒ y = ∫ m dx
    ⇒ y = ∫ 3√x dx
    ⇒ y = 2x3/2 + c

    Karena kurvanya melalui titik (4, 9), maka substitusi nilai x = 4 dan y = 9 pada persamaannya untuk memilih nilai c, sebagai berikut :
    ⇒ y = 2x3/2 + c
    ⇒ 9 = 2 (4)3/2 + c
    ⇒ 9 = 2 (4½ .41) + c
    ⇒ 9 = 2 (√4 .4) + c
    ⇒ 9 = 2 (8) + c
    ⇒ c = 9 – 16
    ⇒ c = -7

    Karena c = -7, maka fungsi kurvanya menjadi :
    ⇒ y = 2x3/2 + (-7)
    ⇒ y = 2x3/2 – 7

    Pada soal ditanya persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 1, maka substitusi nilai x = 1 untuk mencari titik potongnya :
    ⇒ y = 2.(1)3/2 – 7
    ⇒ y = 2 – 7
    ⇒ y = -5
    Titik potong = (1, -5)

    Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung di titik (1, -5) :
    ⇒ m = 3√x
    ⇒ m = 3√1
    ⇒ m = 3

    Dengan demikian, persamaan garis singgung di titik (1, -5) merupakan :
    ⇒ y – y1 = m (x – x1)
    ⇒ y – (-5) = 3 (x – 1)
    ⇒ y + 5 = 3x – 3
    ⇒ 0 = 3x – 3 – y – 5
    ⇒ 3x – y – 8 = 0

    Jawaban : E

  2. Luas sebuah bulat merupakan sebuah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah bulat merupakan x, maka laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya merupakan ….
    A. πx D.  xπ
    B. 2πx E.  2xπ
    C. x
    Pembahasan :
    Untuk menuntaskan soal ini tentu kita harus mengerti rumus memilih keliling dan luas lingkaran.

    • Rumus keliling bulat :
      K = 2 π.r
    • Rumus luas bulat :
      L = π.r2
    Karena luas bulat dinyatakan sebagai fungsi keliling, maka kedua rumus di atas harus dihubungkan sebagai berikut :
    ⇒ K = 2 π.r

    ⇒ r = K

    Substitusi r ke persamaan luas, sesampai kemudian diperoleh :
    ⇒ L = π.r2

    ⇒ L = π. K2
    (2π)2
    ⇒ L = πK2
    2
    ⇒ L = K2

    Karena pada soal keliling dinyatakan dalam x, maka persamaannya menjadi :

    ⇒ L(x) = x2

    Laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya sama dengan turunan dari fungsi luas L(x) terhadap kelilingnya (x). Jika laju perubahan dimisalkan v, maka :

    ⇒ v = d L
    dx
    ⇒ v = d (x2/4π)
    dx
    ⇒ v = d (1 x2)
    dx
    ⇒ v = 2x
    ⇒ v = x
    Jawaban : C 

  3. Jika jarak suatu titik dari suatu posisi P pada setiap waktu t diberikan sebagai s(t) = A sin 2t, A > 0, maka kecepatan terbesar diperoleh pada waktu t sama dengan …..
    1. k2 π, k = 0, 1, 2, 3, ….
    2. k2 π, k = 1, 3, 5, ….
    3. k2 π, k = 0, 2, 4, 6, ….
    4. kπ, k = ½ , 2½, 4½, ….
    5. kπ, k = 1½, 3½, 5½, ….
    Pembahasan :
    Ingat konsep dasar bahwa kecepatan merupakan turunan dari jarak terhadap waktu.
    Persamaan jarak :
    ⇒ s(t) = A sin 2t, A > 0

    Kecepatan :

    ⇒ v = ds
    dt
    ⇒ v = d (A sin 2t)
    dt

    ⇒ v = A cos 2t. 2
    ⇒ v = 2A cos 2t

    Karena persamaan kecepatannya bergantung pada cos 2t dan nilai tertinggi untuk cos merupakan 1, maka kecepatan maksimum akan tercapai jikalau :
    ⇒ cos 2t = 1
    ⇒ 2t = ± n.2π
    ⇒ 2t = ± 2n π ; dengan n = 0, 1, 2, 3, ….

    Karena opsi pilihan dinyatakn dalam k, maka kita misalkan k = 2n.
    ⇒2t = ± k π ; dengan k = 0, 2, 4, 6, ….

    Dengan demikian, kecepatan terbesar diperoleh pada :
    ⇒2t = ± k π

    ⇒ t = k π  ; k = 0, 2, 4, 6, ….
    2
    Jawaban : C

Baca Juga:   Pembahasan Sbmptn Matematika Pertidaksamaan Logaritma

You may also like