Home BAHAN BELAJAR MATEMATIKA Menentukan Suku Ke-N Kalau Jumlah N Suku Pertama Diketahui

Menentukan Suku Ke-N Kalau Jumlah N Suku Pertama Diketahui

by CerdaskanKita

– Cara Menentukan Rumus Un Berdasarkan Rumus Sn. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah menunjukkan bagaimana rumus jumlah n suku pertama suatu deret artimatika sanggup dinyatakan atau diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga diketahui bahwa rumus Sn sanggup ditentukan apabila suku ke-n (Un) diketahui. Itu artinya, kita juga sanggup memilih suku ke-n suatu deret artimatika apabila jumlah n suku pertamanya diketahui. Tapi bagaimana apabila jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat dan anda diminta untuk memilih rumus suku ke-n deret tersebut? Bagaimana cara menentukannya?

#1 Dengan Mensubstitusi Nilai n

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat, maka rumus suku ke-n deret tersebut sanggup ditentukan dengan cara memilih suku pertama dan suku kedua deret tersebut terlebih dahulu.

Caranya merupakan dengan mensubstitusikan nilai n = 1 dan n = 2 ke persamaan rumus jumlah n suku pertama yang diketahui pada soal. Setelah suku pertama (a) dan suku kedua diketahui, maka kita sanggup menghitung beda barisan (b) tersebut.

Karena suku pertama dan beda barisan sudah diketahui, maka kita sanggup memilih rumus suku ke-n deret tersebut dengan cara mensubstitusikan nilai a dan b ke rumus dasar suku ke-n, yaitu:

Un = a + (n – 1)b

Dengan Un menyatakan suku ke-n deret aritmatika, a menyatakan suku pertama deret artimatika, n menyatakan kaya suku, dan b menyatakan beda deret. Hasil selesai akan diperoleh persamaan dalam varaibel n.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : Un = …. ?

Perlu diingat bahwa jumlah 1 suku pertama dalam suatu deret tentu sama dengan suku pertama deret tersebut lantaran hanya satu suku saja yang dijumlahkan.

Baca Juga:   Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Substitusi

Langkah pertama tentukan suku pertama, subsitusi n = 1 :
⇒ U1 = S1
⇒ U1 = 3(1)2 + 5(1)
⇒ U1 = 3 + 5
⇒ U1 = 8
⇒ a = 8

Selanjutnya, tentukan jumlah 2 suku pertama, substitusi n = 2 :
⇒ S2 = 3(2)2 + 5(2)
⇒ S2 = 3.4 + 10
⇒ S2 = 12 + 10
⇒ S2 = 22

Kemudian, kita sanggup memilih suku kedua. Karena jumlah 2 suku pertama sama artinya dengan jumlah suku pertama ditambah suku kedua, maka berlaku :
⇒ S2 = U1 + U2
⇒ 22 = 8 +  U2
⇒ U2 = 22 – 8
⇒ U2 = 14

Selanjutnya kita peroleh beda deret dengan cara :
⇒ b = U2 – U1
⇒ b = 14 – 8
⇒ b = 6

Langkah terkahir, substitusi nilai a dan b ker rumus Un :
⇒ Un = a + (n – 1) b
⇒ Un = 8 + (n – 1)6
⇒ Un = 8 + 6n – 6
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, suku ke-n deret tersebut merupakan Un = 6n + 2. Bandingkan hasil ini degan memakai cara kedua adalah dengan konsep suku ke-n berikut ini.

#2 Dengan Konsep Suku ke-n

Jika dihubungkan dengan jumlah n suku pertama, ada sebuah konsep seputar suku ke-n yang bersama-sama berlaku untuk semua jenis deret termasuk deret aritmatika. Konsep ini menyatakan bahwa suku ke-n sama dengan selisih antara jumlah n suku pertama (Sn) dengan jumlah n-1 suku pertama (Sn-1).

Untuk memahami konsep tersebut, mari kita ambil sebuah pola kasus. Misalkan diberikan sebuah deret aritmatika yang terdiri dari 5 suku, adalah :
4 + 8 + 12 + 16 + 20

Jumlah 5 suku pertama untuk deret tersebut merupakan :
⇒ S5 = 4 + 8 + 12 + 16 + 20
⇒ S5 = 60

Selanjutnya mari kita hitung jumlah n-1 suku pertama. Dalam hal ini, lantaran jumlah sukunya ada 5, maka yang dimaksud dengan jumlah n-1 suku pertama merupakan jumlah 4 suku pertama (S4). Jika dihitung memakai rumus Sn, maka :
⇒ S4 = 4 + 8 + 12 + 16
⇒ S4 = 40

Baca Juga:   Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Garis Bilangan

Nah, kini coba perhatikan bahwa jumlah 4 suku pertama pada deret tersebut sama dengan jumlah 5 suku pertama dikurangi suku terakhir adalah 20. Suku terakhir itu merupakan suku kelima. Dengan demikian, berlaku :
⇒ S4 = 60 – 20
⇒ S4 = S5 – U5
⇒ U5 = S5 – S4

Dengan demikian, secara umum suku ke-n sanggup dinyatakan dengan rumus berikut :

Un = Sn − Sn-1

Dengan Un menyatakan suku ke-n barisan atau deret aritmatika, Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika, dan Sn-1 menyatakan jumlah n-1 suku pertama deret tersebut.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

 Cara Menentukan Rumus Un Berdasarkan Rumus Sn MENENTUKAN SUKU KE-N JIKA JUMLAH N SUKU PERTAMA DIKETAHUI

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : Un = …. ?

Langkah pertama kita tentukan dahulu persamaan untuk Sn-1, dengan cara mensubstitusi atau mengmengganti n menjadi n – 1 sebagai berikut :
⇒ Sn = 3n2 + 5n
⇒ Sn-1 = 3(n – 1)2 + 5(n – 1)
⇒ Sn-1 = 3(n2 – 2n + 1) + 5n – 5
⇒ Sn-1 = 3n2 – 6n + 3 + 5n – 5
⇒ Sn-1 = 3n2 – n – 2

Selanjutnya, kita tentukan Un menurut konsep:
⇒ Un = Sn − Sn-1
⇒ Un = 3n2 + 5n − (3n2 – n – 2)
⇒ Un = 3n2 − 3n2 + 5n + n + 2
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, diperoleh rumus Un yang sama dengan cara pertama, adalah Un = 6n + 2.

Demikian pembahasan singkat seputar cara memilih rumus suku ke-n (Un) apabila rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui. Jika materi berguru ini bermanfaat, bantu kami membagikan kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.

You may also like