Kumpulan Soal Dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

Untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, kita harus memahami konsep dasar dalam fungsi kuadrat mencakup bentuk umum fungsi kuadrat itu sendiri, nilai diskriminan fungsi kuadrat dan bagaimana efek nilai tersebut terhadap bentuk dan sifat grafik fungsi kuadrat, dan cara menggambar grafik fungsi kuadrat. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, maka rumus yang kita perlukan merupakan rumus untuk memilih sumbu simetri parabola, rumus memilih nilai ekstrim dan titik balik, dan tentu saja cara memilih titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Bentuk dan karakteristik dari suatu grafik fungsi kuadrat sangat bergantung pada nilai kontstanta a,b,c dan nilai diskriminannya.

Daftar Isi

Kumpulan Soal Fungsi Kuadrat

Soal 1
Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x² – 20x + 1.

Pembahasan
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat sanggup dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi kuadrat pada soal diperoleh a = 5 dan b = -20.
x = -b/2a
⇒ x = -(-20)/2(5)
⇒ x = 20/10
⇒ x = 2
Makara sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x² – 20x + 1 merupakan x = 2.

Soal 2

Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)² + 3.

Pembahasan
Terlebih dahulu kita uraikan fungsi kuadrat di atas menjadi :
F(x) = 2(x + 2)² + 3
⇒ F(x) = 2(x² + 4x + 4) + 3
⇒ F(x) = 2x² + 8x + 8 + 3
⇒ F(x) = 2x² + 8x + 11
Dari fungsi di atas diperoleh a = 2, b = 8.

Titik balik fungsi kuadrat sanggup ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -8/2(2)
⇒ x = -8/4
⇒ x = -2
y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(-2)
⇒ y = 2(-2)² + 8(-2) + 11
⇒ y = 2(4) – 16 + 11
⇒ y = 8 – 16 + 11
⇒ y = 8 – 16 + 11
⇒ y = 3
Jadi, titik balik untuk fungsi kuadrat  F(x) = 2(x + 2)² + 3 merupakan (-2,3).

Baca Juga:   Kumpulan Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonometri

Soal 3

Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2).

Pembahasan
Uraikan persamaan di atas menjadi :
y = (x – 6)(x + 2)
⇒ y = x²  + 2x – 6x – 12
⇒ y = x²  – 4x – 12
Dari persamaan di atas diperoleh a = 1 dan b = -4.

Titik balik fungsi kuadrat sanggup ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -(-4)/2(1)
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2
y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(2)
⇒ y = 2²  – 4(2) – 12
⇒ y = 4 – 8 – 12
⇒ y = -16
Jadi, titik balik fungsi kuadrat y = (x – 6)(x + 2) merupakan (2,-16).

Baca juga : Kumpulan Soal SBMPTN perihal Fungsi Kuadrat.

Soal 4
Jika grafik fungsi y = x² + px + k memiliki klimaks (1,2), maka tentukan nilai p dan k.

Pembahasan
Dari y = x² + px + k diperoleh a = 1, b = p dan c = k.
Titik puncak (1,2) maka x = 1 dan y = 2.
x = -b/2a = 1
⇒ -b/2a = 1
⇒ -p/2 =1
⇒ p = -2
y = y(-b/2a) = y(1) = 2
⇒ x² + px + k = 2
⇒ (1)² + -2(1) + k = 2
⇒ 1 – 2 + k = 2
⇒ k = 2 + 1
⇒ k = 3
Jadi, p = -2 dan k = 3.

Rumus Umum Fungsi Kuadrat

Soal 1

Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x² – 2x  – 2 dengan sumbu x dan sumbu y.

Pembahasan 
(Perbaikan : soalnya salah ketik seharusnya y = 3x² – x  – 2)
Titik potong pada sumbu x sanggup diperoleh apabila y = 0.
3x² – 2x  – 2 = 0
⇒ (3x + 2)(x – 1) = 0
⇒ x1 = -2/3 dan x2 = 1
Maka titik potongnya (-2/3,0) dan (1,0).

Titik potong pada sumbu y sanggup diperoleh dengan x = 0.
⇒ y = 3x² – x  – 2
⇒ y = 3(0)² – (0)  – 2
⇒ y = -2
Maka titik potongnya (0,-2).

Read more : Soal dan Jawaban Membentuk Fungsi Kuadrat.

Cara Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Kumpulan Soal Grafik Fungsi Kuadrat

1. Ke arah manakah grafik fungsi f(x) = x² harus digeser untuk memperoleh grafik fungsi kuadart f(x) = x² – 6x + 7.
   Pembahasan 
   Fungsi kuadrat f(x) = x² terdapat nilai :
   ⇒ a > 0 sesampai kemudian parabola terbuka ke atas.
   ⇒ b = 0 sesampai kemudian titik balik parabola berada pada sumbu y.
   ⇒ c = 0 sesampai kemudian grafik parabola melalui titik (0,0).

   Fungsi kuadrat f(x) = x² – 6x + 7 terdapat nilai :
   ⇒ a > 0 sesampai kemudian parabola terbuka ke atas
   ⇒ b = -6 maka a.b = -6 < 0 sesampai kemudian titik balik ada di kanan sumbu y.
   ⇒ c = 7 > 0 sesampai kemudian parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.

   Karena titik balik ada di kanan sumbu y, berarti grafik f(x) = x² harus digeser ke arah kanan sumbu x. Untuk lebih terangnya kita sanggup memilih terlebih dahulu titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
   ⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 3
   ⇒ nilai ekstrim = y = f(-b/2a) = f(3) = 3² – 6(3) + 7 = -2
   ⇒ titik balik = (x,y) = (3,-2)

   Ingat bahwa grafik  f(x) = x² melalui titik (0,0) lagikan grafik f(x) = x² – 6x + 7 melalui titik (3,-2), maka kita sanggup menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x² – 6x + 7 dengan menggeser grafik fungsi kuadrat f(x) = x² ke arah kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu y sejauh 2 satuan menyerupai gambar di bawah ini :

   
2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x + 5.
   Pembahasan 
   Dari soal diperoleh a = 1, b = 2 dan c = 5. Tentukan titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
   ⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -2/2(1) = -1
   ⇒ nilai ekstrim = y = f(-1) = (-1)² + 2(-1) + 5 = 4
   ⇒ titik balik = (x,y) = (-1,4) berarti parabola tak memotong sumbu x.
   ⇒ titik potong pada sumbu y = (0,c) = (0,5)

   maka grafik untuk y = x² + 2x + 5 merupakan menyerupai berikut ini :

   

   Jika dianalisis menurut nilai a, b, c dan diskriminan, kita sanggup mengambarkan bahwa grafik di atas sesuai atau tak.
   ⇒ a = 1 → a > 0 : parabola terbuka ke atas.
   ⇒ b = 2 → a.b = 1(2) = 2 → a.b > 0 : titik balik di kiri sumbu y.
   ⇒ c = 5 → c > 0 : parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
   ⇒ D = b² – 4ac = 4 – 4(1)(5) = – 16 : grafik tak memotong sumbu x alasannya yakni D < 0.

3. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3).
   Pembahasan 
   Misalkan fungsi kuadrat f(x) =  ax² + bx + c maka kita harus mencari nilai a, b, dan c.
   Titik balik minimum (1,2) maka :
   sumbu simetri = x = 1
   ⇒ -b/2a = 1 maka b = -2a
   nilai ekstrim = y = 2
   ⇒ f(-b/2a) = 2
   ⇒ a(1)² + b(1) + c = 2
   ⇒ a + b + c = 2 → mengganti b dengan -2a.
   ⇒ a – 2a + c = 2
   ⇒ -a + c = 2

   Melalui titik (2,3), maka :
   ⇒ f(2) = 3
   ⇒ a(2)² + b(2) + c = 3
   ⇒ 4a + 2b + c = 3
   ⇒ 4a + 2(-2a) + c = 3
   ⇒ 4a – 4a + c = 3
   ⇒ c = 3
   Substitusi nilai c = 3 ke persamaan -a + c = 2.
   ⇒ -a + 3 = 2
   ⇒ -a = -1
   ⇒ a = 1
   Karena a = 1 maka :
   ⇒ b = -2a
   ⇒ b = -2(1)
   ⇒ b = -2
   Makara fungsi kuadrat yang grafiknya melalaui titik (2,3) dan titik balik minimum (1,2) merupakan : x² – 2x + 3.

Baca juga : Pembahasan Contoh Soal Cerita Fungsi Kuadrat.