Home CONTOH PROGRAM LINEAR Contoh Soal Memilih Titik Maksimum Fungsi Objektif

Contoh Soal Memilih Titik Maksimum Fungsi Objektif

by CerdaskanKita

– (Contoh 5 : Menentukan Syarat Nilai Maksimum Fungsi Tujuan) Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud merupakan Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya sanggup menampung tak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah kaya sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud!

Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan maksimum, maka fungsi tujuannya berkaitan dengan besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Dengan demikian, fungsi tujuan untuk soal di atas sanggup dinyatakan dalam variabel kaya sapi dan kaya kerbau yang harus dibeli.

Karena variabelnya merupakan jumlah binatang kurban, maka sanggup dilakukan pemisalan sebagai berikut:
1). Banyak sapi yang dibeli = x
2). Banyak kerbau yang dibeli = y

Selain jumlah binatang kurban yang dibeli, fungsi tujuan juga bergantung pada besar keuntungan yang diperoleh dari penjualan sapi atau kerbau. Oleh lantaran itu kita juga harus menghitung keuntungan penjualan sapi dan kerbau terlebih dahulu.

Berikut keuntungan dari penjualan masing-masing binatang :
1). Untung jual sapi = Rp 10.300.000,00 – Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
2). Untung jual kerbau = Rp 9.200.000,00 – Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00

Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya merupakan :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y

Arti dari fungsi tujuan tersebut merupakan berapa nilai x (kaya sapi yang dibeli) dan nilai y (kaya kerbau yang dibeli supaya diperoleh nilai F maksimum. Dengan kata lain supaya diperoleh keuntungan yang maksimum.

Model matematika yang memenuhi soal merupakan :
1). Banyak sapi tak cukup negatif → x ≥ 0
2). Banyak kerbau tak cukup negatif → y ≥ 0
3). Daya tampung sangkar tak lebih dari 15 ekor → x + y ≤ 15
4). 9.000.000x + 8.000.000y ≤ 124.000.000 → 9x + 8y ≤ 124

Baca Juga:   Soal Dan Pembahasan Trigonometri Sudut Berelasi Kuadran Iv

Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis supaya sanggup kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
1). Jika x = 0, maka y = 15 → titik potong (0,15)
2). Jika y = 0, maka x = 15 → titik potong (15,0)

Untuk 9x + 8y = 124
1). Jika x = 0, maka y = 15,5 → titik potong (0, 16)
2). Jika y = 0, maka x = 13,7 → titik potong (13 ,0)

Keterangan : titik potong pertama digenapkan menjadi 16 lantaran jumlah sapi tak cukup 1/2. Titik kedua digenapkan menjadi 13 lantaran melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tak digenapkan ke 14 lantaran apabila dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.

 Menentukan Syarat Nilai Maksimum Fungsi Tujuan CONTOH SOAL MENENTUKAN TITIK MAKSIMUM FUNGSI OBJEKTIF

Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum ialah titik A, B, dan C. Titi A dan C sanggup ditentukan secara eksklusif ialah A(0,15) dan C(13,0).

Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.
⇒ x + y = 15
⇒ x = 15 – y

Substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
⇒ 9(15 – y) + 8y = 124
⇒ 135 – 9y + 8y = 124
⇒ y = 11

Substitusi nilai y untuk memperoleh nilai x :

⇒ x + y = 15
⇒ x + 11 = 15
⇒ x = 4
Makara titik B(4,11)
Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
1). A(0,15) → F(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
2). B(4,11) → F(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
3). C(13,0) → F(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000

Dari perhitungan di atas sanggup dilihat bahwa titik yang menghasilkan nilai terbesar merupakan titik B(4, 11). Jadi, supaya manfaatnya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud merupakan 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
             
Contoh 6 : Menentukan Laba Maksimum Berdasarkan Fungsi Tujuan

Baca Juga:   Soal Dan Tanggapan Trigonometri Sinus Jumlah Dan Selisih Sudut

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan memakai gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya sanggup menampung mangga dan pisang sekaya 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Contoh 7 : Menentukan Titik Optimum Fungsi Tujuan

Sebuah perbisnisan properti memproduksi dua macam lemari pakaian ialah tipe lux dan tipe sport dengan memakai 2 materi dasar yang sama ialah kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux diharapkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, lagikan untuk memproduksi 1 unit tipe sport diharapkan 6 batang kayu jati  dan 1 kaleng cat pernis.

Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing merupakan Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perbisnisan memakai paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perbisnisan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan kaya lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi supaya biaya produksinya minimum.

You may also like