Soal Cerita Program Linear
Aini, Nia, dan Nisa pergi tolong-menolong ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.
Dimisalkan : apel = x, anggur = y, jeruk = z
Dari soal, sanggup disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 2x + 2y + z = 67.000
2). 3x + y + z = 61.000
3). x + 3y + 2z = 80.000
Ditanya : x + y + 4z = ….?
Untuk menjawab pertanyaan menyerupai ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu merupakan harga satuan masing-masing barang.
Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :
Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :
Dari persamaan no 4 dan 5 diperoleh :
Makara harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk merupakan :
x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.
Soal 2 : Menentukan Harga Benda
Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah.
Dimisalkan : buku = x, pulpen = y, pensil = z
Dari soal, sanggup disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 4x + 2y + 3z = 26.000
2). 3x + 3y + z = 21.000
3). 3x + z = 12.000
Ditanya : 2y + 3z = ….?
Untuk menjawab pertanyaan menyerupai ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu merupakan harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.
Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yakni :
Selanjtunya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut :
Jadi, harga 2 pulpen dan 3 pensil merupakan :
2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.200,00.
Soal 3 : Menentukan Nilai Maksimum
Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu pria paling sedikit 100 pasang dan sepatu perempuan paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya sanggup menampung 400 pasang sepatu.
Keuntungan setiap pasang sepatu pria merupakan Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu perempuan merupakan Rp 5.000,00. Jika kayanya sepatu pria tak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang sanggup diperoleh oleh pemilik toko.
Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya merupakan keuntungan penjualan sepatu. Makara fungsi tujuannya merupakan :
F(x,y) = 10.000x + 5.000y
Dengan pemisalan :
sepatu pria = x
sepatu perempuan = y
Sistem pertaksamaan untuk soal tersebut merupakan sebagai berikut :
x + y <= 400
100 => x <= 150
150 => y <= 250
Karena maksimum sepatu pria hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 – 150 = 250.
Dari sistem pertaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :
 |
| Sistem pertaksamaan linear |
Dari grafik terperinci telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yakni titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y merupakan :
F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000
Jadi, keuntungan terbesar yang sanggup diperoleh pemilik toko merupakan Rp 2.750.000,00.
Soal 4 : Menentukan Pendapatan Maksimum
Seorang pembuat camilan anggun memiliki 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam camilan anggun yakni camilan anggun dadar dan camilan anggun apem. Untuk membuat camilan anggun dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung lagikan untuk membuat sebuah camilan anggun apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika camilan anggun dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan camilan anggun apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang sanggup diperoleh pembuat camilan anggun tersebut.
Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertaksamaan dan fungsi tujuan dari soal kisah tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual camilan anggun merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertaksamaan, yang perlu kita lakukan merupakan memilih variabel dan koefisiennya.
x = 0, y = 160 —> (0, 160)
y = 0, x = 400 —> (400, 0)
Untuk garis 2x + y = 400
x = 0, y = 400 —> (0, 400)
y = 0, x = 200 —> (200, 0)
 |
| Sistem pertaksamaan linear |
Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400
2x + y = 400
y = 400 – 2x
Dengan metode substitusi :
2x + 5y = 800
2x + 5(400 – 2x) = 800
2x + 2000 – 10x = 800
-8x = -1200
x = 150
Karena x = 150, maka :
y = 400 – 2x
y = 400 – 2(150)
y = 400 – 300
y = 100
Dengan demikian titik B (150, 100)
Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan :
A(0, 160) —> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000
B(150, 100) —> F(x,y) = 300(150) + 500(100) = 95.000
C(200, 0) —> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000
Soal 5 : Menentukan Syarat Nilai Maksimum
Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud merupakan Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya sanggup menampung tak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah kaya sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.
Soal 6 : Menentukan Laba Maksimum Berdasarkan Fungsi Tujuan
Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan memakai gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya sanggup menampung mangga dan pisang sekaya 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
Sebuah perbisnisan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yakni tipe lux dan tipe sport dengan memakai 2 materi dasar yang sama yakni kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, lagikan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati dan 1 kaleng cat pernis.
Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing merupakan Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perbisnisan memakai paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perbisnisan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan kaya lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi semoga biaya produksinya minimum.
Soal 8 : Menentukan Nilai Minimum Fungsi Tujuan
Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 dingklik dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk sanggup memuat 30 dingklik lipat dan 20 meja lipat, lagikan colt sanggup memuat 40 dingklik lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 lagikan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa semoga ongkos pengiriman minimum.
Baca juga : Pembahasan Nilai Minimum Fungsi Tujuan >>
Seorang petani terdapat tanah tak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar hingga dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar hingga dengan 6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diharapkan biaya Rp 400.000,00 lagikan untuk menanam jagung per hektarnya diharapkan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa kaya masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.
