Home CONTOH LINGKARAN Contoh Soal Dan Balasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Contoh Soal Dan Balasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

by CerdaskanKita
  1. Salah satu persamaan garis singgung bulat x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0 yang tegak lurus dengan garis y = 4 – x merupakan …..
    A. y = x − 5
    B. y = x + 5
    C. y = 2x − 5
    D. y = 2x + 5
    E. 2y = x − 5

    Pembahasan :
    Ada sedikit metode yang sanggup kita gunakan untuk memilih persamaan garis singgung bulat dan metode tersebut bergantung pada persamaan dan titik yang diketahui. Untuk (x − a)2 + (y − b)2 = r2 dan bergradien m, maka persamaan garis singgungnya merupakan :

    y  − b = m(x − a) ± r √1 + m2

    Kita sanggup mengubah persamaan bulat di atas menjadi bentuk umum persamaan bulat yang pusatnya berada di titik P(a,b) dan berjari-jari r, yakni :
    ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2

    Sekarang perhatikan persamaan bulat pada soal.
    ⇒ x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0
    Dik : a = 22 = 1; b = -42 = -2 dan c = 3.

    Tentukan sentra bulat :
    ⇒ P = (-a, -b)
    ⇒ P = (-1, -(-2))
    ⇒ P = (-1,2)

    Tentukan jari-jari bulat :
    ⇒ r = √(-a)2 + (-b)2 − c
    ⇒ r = √(-1)2 + (2)2 − (3)
    ⇒ r = √1 + 4 – 3
    ⇒ r = √2

    Kaprikornus bentuk lain dari x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0 yang berpusat di (-1,2) merupakan :
    ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2

    ⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = √22
    ⇒ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2

    Sekarang lihat persamaan garis pada soal.
    ⇒ y = 4 – x
    ⇒ gradien, m1 = -1

    Ingat apabila ada dua garis yang saling tegak lurus, maka hasil kali gradien kedua garis itu merupakan -1. Karena garis singgung bulat tegak lurus dengan garis y = 4 – x, maka gradien garis singgung tersebut merupakan :
    ⇒ m1.m2 = -1
    ⇒ m2 = -1/m1
    ⇒ m2 = –1-1
    ⇒ m2 = 1.

    Sekarang ingat gres saja P(a,b) = (-1,2), dan gradien m = 1.
    Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan :
    ⇒ y  − b = m(x − a) ± r √1 + m2
    ⇒ y  − 2 = 1(x + 1) ± √2.√1 + 1
    ⇒ y  − 2 = x + 1 ± 2
    Uraikan tanda plus minusnya.
    ⇒ y  − 2 = x + 1 + 2
    ⇒ y  − 2 = x + 3
    ⇒ y = x + 5
    Atau :
    ⇒ y  − 2 = x + 1 − 2
    ⇒ y  − 2 = x − 1
    ⇒ y = x + 1

    Jawaban : B

  2. Jika bulat (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2 memotong garis y = 2, maka persamaan garis singgung di titik potong bulat dan garis y = 2 merupakan ….
    A. x + y − 5 = 0 D. x + y + 1 = 0
    B. x + y + 5 = 0 E. x + y − 1 = 0
    C. x − y + 5 = 0

    Pembahasan :
    Substitusi nilai y = 2 ke persamaan bulat untuk memilih titik potong.
    ⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
    ⇒ (x − 2)2 + (2 − 1)2 = 2
    ⇒ (x − 2)2 + 1 = 2
    ⇒ (x − 2)2 = 1
    ⇒ x = 3 atau x = 1
    Kaprikornus titik potongnya merupakan (3,2) dan (1,2).

    Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk umum x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, sebagai berikut :
    ⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
    ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2
    ⇒ x2 + y2 − 4x − 2y + 3 = 0
    Dik : a = ½(-4) = -2, b = ½(-2) = -1, c = 3

    Persamaan garis singgung bulat untuk x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 sanggup ditentukan dengan rumus :

    x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

    Karena ada dua titik, maka kita coba keduanya.
    Untuk titik (3,2)
    ⇒ 3x + 2y + (-2)(3 + x) + (-1)(2 + y) + 3 = 0
    ⇒ 3x + 2y − 6 − 2x − 2 − y + 3 = 0
    ⇒ x + y − 5 = 0

    Untuk titik (1,2)
    ⇒ x + 2y + (-2)(1 + x) + (-1)(2 + y) + 3 = 0
    ⇒ x + 2y − 2 − 2x − 2 − y + 3 = 0
    ⇒ -x + y − 1 = 0
    ⇒ x − y + 1 = 0 

    Jawaban : A

  3. Diketahui suatu bulat dengan sentra berada pada kurva y = √x dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik sentra bulat tersebut merupakan a, maka persamaan garis singgung bulat yang melalui titik O merupakan ….
    A. y = -x D. y = -2x√a
    B. y = -x√a E. y = -2ax
    C. y = -ax

    Pembahasan :
    Karena absis sentra merupakan a dan sumbu y = √x, maka P(a,√a).
    Jari-jari bulat :
    ⇒ r = √x2 + y2
    ⇒ r = √a2 + (a)2
    ⇒ r = √a2 + a

    Persamaan umum bulat :
    ⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
    ⇒ (x − a)2 + (y − √a)2 = (√a2 + a)2

    Persamaan garis singgungnya sanggup dihitung dengan rumus :

    (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

    Berdasarkan rumus di atas :
    Telah kita peroleh a = a, b = √a
    ⇒ (x1 − a)(x − a) + (y1 − √a)(y − √a) = a2 + a
    Karena melalui titik (0,0) maka x1 = 0, y1 = 0.
    ⇒ (0 − a)(x − a) + (0 − √a)(y − √a) = a2 + a
    ⇒ -ax +  a2 − √a y + a = a2 + a
    ⇒ -ax − √a y = 0 ⇒ -√ay = ax
    ⇒ y = ax√a x = -x√a

    Jawaban : B
Baca Juga:   Contoh Soal Dan Balasan Menarik Akar Kuadrat

You may also like