Home BAHAN BELAJAR MATEMATIKA Cara Memilih Jumlah N Suku Pertama Deret Geometri

Cara Memilih Jumlah N Suku Pertama Deret Geometri

by CerdaskanKita

– Deret Geometri. Pada sedikit materi mencar ilmu sebelumnya, edutafsi telah membahas sedikit konsep seputar barisan geometri mulai dari definisi barisan geometri, rasio barisan, rumus suku ke-n, hingga kemudian kekerabatan antara tiga suku berdekatan dalam barisan geometri. Selain konsep tersebut, masih ada sedikit subtopik lain yang berdampingan dengan barisan, yakni deret. Sama menyerupai barisan aritmatika yang sanggup dijumlahkan menjadi deret aritmatika, barisan geometri juga sanggup dijumlahkan menjadi deret geometri. Jika berbicara seputar deret, maka subtopik yang utama akan dibahas merupakan bagaimana cara memilih jumlah n suku pertama dari deret tersebut. Tapi sebelum membahas lebih jauh rumus memilih jumlah n suku pertama, ada baiknya kita membahas terlebih dahulu seputar definisi dari deret geometri. Pada pembahasan di bawah ini, edutafsi juga akan memaparkan bentuk lain dari rumus jumlah n suku pertama pada deret geometri.

A. Pengertian Deret Geometri

Secara simpel, deret sanggup diartikan sebagai jumlah dari seluruh suku dalam suatu barisan (jumlah suku pertama, kedua, ketiga, hingga kemudian suku terakhir). Dengan demikian, deret geometri sanggup diartikan sebagai jumlah dari seluruh suku dalam barisan geometri. Jika deret aritmatika dikenal juga sebagai deret hitung, maka nama lain dari deret geometri merupakan deret ukur.

Pada dasarnya barisan dan deret geometri merupakan dua topik yang saling berhubungan. Konsep barisan dan deret geometri juga saling berkaitan. Perhitungan dan penentuan rumus deret geometri dikembangkan menurut konsep yang ada pada barisan geometri. Sebaliknya, sedikit perhitungan pada barisan geometri juga sanggup diturunkan dari konsep deret geometri.

Misalkan terdapat barisan geometri terdiri dari lima suku sebagai berikut : 2, 8, 32, 128, 512. Jumlah dari barisan tersebut 2 + 8 + 32 + 128 + 512  disebut sebagai deret geometri. Karena merupakan jumlah dari barisan geometri, maka konsep atau ciri-ciri yang berlaku pada barisan geometri juga berlaku pada deret geometri.

Ciri-ciri yang dimaksud antara lain :
1). Perbandingan dua suku berdekatan (r) selalu sama
2). Suku ke-n merupakan hasil kali antara suku sebelumnya dengan rasio barisan.

Baca Juga:   Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Eliminasi

Dengan demikian, sebelum menyelsaikan soal kita juga sanggup memastikan terlebih dahulu apakah suatu deret termasuk deret geometri atau bukan. Caranya simpel, sama menyerupai mengidentifikasi apakah suatu barisan termasuk barisan geoemtri atau bukan, yakni dengan cara melihat rasionya. Jika rasionya sama untuk setiap dua suku berdekatan, maka deret tersebut merupakan deret geometri. Jika rasio berbeda, maka deret tersebut bukan deret geometri.

Contoh :
Dari sedikit deret di bawah ini, periksalah mana yang merupakan deret geometri :
a). 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 18
b). 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
c). 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192
d). 4 + 16 + 48 + 96 + 288 + 1152

Pembahasan :
a). Rasio untuk 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18
⇒ 4/2 ≠ 6/4 ≠ 8/6 ≠ 10/8 ≠ 12/10 ≠ 14/12 ≠ 18/14
Karena rasionya tak sama, maka deret tersebut bukan deret geometri.

b). Rasio untuk 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
⇒ r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 64/32 = 128/64 = 2
Karena rasionya selalu sama, yakni r = 2, maka deret tersebut merupakan deret geometri.

c). Rasio untuk 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
⇒ r = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = 96/48 = 192/96 = 2
Karena rasionya selalu sama, yakni r = 2, maka deret ini termasuk deret geometri.

d). Rasio untuk 4, 16, 48, 96, 288, 1152
⇒ 16/4 ≠ 48/16 ≠ 98/48 ≠ 288/96 ≠ 1152/288
Karena rasionya tak selalu sama, maka bukan deret geometri.

Kaprikornus dari keempat deret di atas, yang termasu deret geometri merupakan (b) dan (c). Deret 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 terdapat rasio 2 dan deret 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 juga merupakan deret geometri dengan rasio sama dengan 2.

B. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri

Salah satu pembahasan dalam deret geometri merupakan memilih jumlah n suku pertama dalam suatu deret geometri. Bilangan n menyatakan jumlah atau kaya suku yang akan dijumlahkan. Misalnya sebuah deret geometri terdiri dari 10 suku, apabila ditanya jumlah 5 suku pertama, maka yang dijumlahkan merupakan U1 + U2 + U3 + U4 + U5.

Baca Juga:   Menentukan Suku Ke-N Aritmatika Jikalau Jumlah Beberapa Suku Diketahui

Jumlah n suku pertama biasanya disimbolkan dengan Sn. Besar jumlah n suku pertama suatu deret geometri bergantung pada nilai suku pertama dan rasio deret tersebut. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri sanggup diturunakn menurut konsep suku ke-n barisan geometri dan manipulasi aljabar sebagai berikut.

Misal suatu barisan geometri terdiri dari sedikit suku sebagai berikut : U1, U2, U3 …, Un. Sesuai konsep barian geometri, maka berlaku persamaan berikut :
1). U1 = a
2). U2 = a . r
3). U3 = a. r2
4). Un = a . rn-1

Jika suku-suku barisan tersebut dijumlahkan : U1 + U2 + U3 + … + Un maka akan diperoleh Sn.
⇒ Sn =  U1 + U2 + U3 + … + Un-1 + Un
⇒ Sn = a + ar + a. r2 + …+ a . rn-2 + a . rn-1   …… (1)

Jika kedua ruas dikali dengan r, maka persamaannya menjadi :
⇒ r Sn = ar + a r2 + a r3 + … + a . rn-1 + a . rn …… (2)

Selanjutnya, persamaan (1) dan (2) disusun dan dikurangkan sebagai berikut :

Sn           = a + ar + a. r2 + a r3 + …+ a . rn-2 + a . rn-1
r Sn         = ar + a r2 + a r3 + … + a . rn-2 + a . rn-1 + a . rn  _
Sn − r Sn =  a − a.rn

Hasil di atas sanggup diubah menjadi :
⇒ Sn − r Sn = a − a.rn
⇒ (1 − r)Sn = a(1 − rn)
⇒ Sn = a(1 − rn) / (1 − r)

Dari hasil di atas, diperoleh rumus jumlah n suku pertama (Sn) untuk deret geometri. Tenamun, bentuk di atas hanya berlau untuk nilai r yang lebih kecil dari 1 (r < 1) lagikan untuk deret geometri dengan rasio lebih besar dari 1 (r > 1) rumusnya sedikit berbeda.

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r < 1 :

Sn = a(1 − rn)
1 − r

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1 :

Sn = a(rn − 1)
r − 1

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama dalam deret geometri
a = U1 = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri
n = kaya suku yang dijumlahkan (1, 2, 3, ….).

Contoh :
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut : 3 + 6 + 12 + 24 + … + Un. Tentukanlah jumlah 8 suku pertama deret tersebut!

Baca Juga:   Gradien Dan Persamaan Garis Lurus

Pembahasan :
Dik : a = 3, r = 6/3 = 12/6 = 2 (r > 1), n = 8
Dit : S8 = …. ?

Karena r > 1, maka dipakai rumus kedua :
⇒ Sn = a(rn − 1) / (r − 1)
⇒ S8 = 3(28 − 1) / (2 − 1)
⇒ S8 = 3(256 − 1) /1
⇒ S8 = 3(255)
⇒ S8 = 765

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut merupakan 765.

C. Bentuk Lain Rumus Sn untuk Deret Geometri

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1 sanggup diubah menjadi bentuk yang mudah dengan dijabarkan terlebih dahulu sebagai berikut:
⇒ Sn = a(rn − 1) / (r − 1)
⇒ Sn = (arn − a) / (r − 1)
⇒ Sn = (arn)/(r − 1) − a/(r − 1)
⇒ Sn = {a/(r − 1)} . rn − a/(r − 1)  

Karena a dan r pada suatu deret gemetri selalu tetap, maka a/(r-1) sanggup kita asumsikan sebagai suatu konstanta, sesampai kemudian sanggup kita misalkan : a/(r – 1) = C, dengan C konstanta. Dengan demikian, persamaanya menjadi :

Sn = C . rn − C

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama deret geometri
C = konstanta = a/(r-1)
r = rasio deret geometri.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan dengan Sn = 23n − 1, maka tentukanlah jumlah 5 suku pertama dan rasionya.

Pembahasan :
Dik : Sn = 23n − 1
Dit : S5 = …. ? dan r = …. ?

Jumlah 5 suku pertama, substitusikan n = 5 :
⇒ Sn = 23n − 1
⇒ S5 = 23.5 − 1
⇒ S5 = 215 − 1
⇒ S5 = 32767

Rumus Sn yang diberikan pada soal sanggup dijabarkan menjadi bentuk khusus Sn = C . rn − C sebagai berikut:
⇒ Sn = 23n − 1
⇒ Sn = (23)n − 1
⇒ Sn = 8n − 1
⇒ Sn = 1 . 8n − 1

Sekarang bentuk persamaanya sudah sesuai dengan Sn = C . rn − C. Dari persamaan tersebut diketahui:
1). C = a/(r-1) = 1
2). r = 8

 edutafsi telah membahas sedikit konsep seputar barisan geometri mulai dari definisi kafetaria CARA MENENTUKAN JUMLAH N SUKU PERTAMA DERET GEOMETRI

Jadi, rasio deret geometri tersebut merupakan 8 dan jumlah 5 suku pertamanya merupakan 32767.

Demikianlah pembahasan singkat seputar cara memilih jumlah n suku pertama suatu deret geometri dikompleksi dengan pola dan pembahasan. Jika materi mencar ilmu ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.

You may also like